Centro de masas y Momento de inercia
En esta ocasión veremos una aplicación de la integral de superficie que tiene relación con la física, pues con esta podemos calcular tanto el centro de masas como el momento de inercia. Pero primero recordemos cómo se calcula una integral de superficie.
Repaso: Integral de superficie
Para calcular una integral de superficie es importante seguir algunos pasos. Vamos a calcular la integral de la función \(f(x, y, z)\) sobre la superficie \(S\).
Paso 1: parametrizar la superficie \(S\) por la función \(\varphi (u,v)\)
Paso 2: encontrar el vector normal a la superficie parametrizada y su módulo \(\|\vec{N}\|\)
Paso 3: resolver la integral
\[\iint_{S} f d S=\iint_{D} f(\varphi(u, v))\|\vec{N}\| d u d v\]
Esos son los pasos básicos para resolver una integral de superficie.
Centro de masas
Antes de ver la aplicación de la integral de superficie, veamos cómo se define el centro de masas y el momento de inercia:
El centro de masas puede ser interpretado como un punto de equilibrio del sistema, es decir, si la masa de toda la superficie se concentrara en un punto, este sería el centro de masas. Este se calcula a través de las siguientes fórmulas:
\[\bar{x}=\frac{\iint_{D} x \delta(x, y, z) d S}{\iint_{D} \delta(x, y, z) d S}\]
\[\bar{y}=\frac{\iint_{D} y \delta(x, y, z) d S}{\iint_{D} \delta(x, y, z) d S}\]
\[\bar{z}=\frac{\iint_{D} z \delta(x, y, z) d S}{\iint_{D} \delta(x, y, z) d S}\]
Donde \(\delta (x,y,z)\) es la densidad de la superficie.
Cuando la densidad es constante, esta puede ser retirada de la integral. En este caso tenemos el centroide de la superficie. En la práctica lo que calcularemos es:
\[x_{c}=\frac{\iint_{D} x \delta(x, y, z) d S}{\iint_{D} \delta(x, y, z) d S}\]
\[y_{c}=\frac{\iint_{D} y \delta(x, y, z) d S}{\iint_{D} \delta(x, y, z) d S}\]
\[z_{c}=\frac{\iint_{D} z \delta(x, y, z) d S}{\iint_{D} \delta(x, y, z) d S}\]
Momento de inercia
El momento de inercia es el momento, en relación a un eje, que una superficie tendría si toda su masa estuviera concentrada en el centro de masas. Este depende de un eje referencial. El momento de inercia en relación a un eje \(L\) es definido por:
\[I_{L}=\iint_{D} d^{2}(x, y, z) \delta(x, y, z) d x d y\]
Donde, \(d (x,y,z)\) es la distancia del punto \((x,y,z)\) a la recta \(L\).
Caso particular: generalmente calculamos el momento de inercia en relación a los ejes coordenados: \(x\), \(y\) y \(z\) que son:
\[I_{x}=\iint_{D}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d y d z\]
\[I_{y}=\iint_{D}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d x d z\]
\[I_{z}=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d x d y\]
Observación: a veces nos piden calcular el radio de rotación o giro. Veamos el concepto de rotación: si tienes una superficie de masa \(M\) y quieres calcular la distancia a la cual tendríamos que colocar la cinta de masa \(M\), paralela a \(L\), y que tenga el mismo momento de inercia de la superficie. El radio de giro es calculado por:
\[I_{L} =M k_{L}^{2} \]
\[k_{L}=\sqrt{\frac{I_{L}}{M}}\]
Ejemplo: encuentre el centroide de la superficie cortada del cilindro \(x^{2}+y^{2}=9\), por los planos \(z=0\) y \(z=3\).
Para el cálculo del centro de masas de la superficie debemos encontrar:
\[x_{c}=\frac{\iint_{D} x d S}{\iint_{D} d S}, y_{c}=\frac{\iint_{D} y d S}{\iint_{D} d S}, z_{c}=\frac{\iint_{D} z d S}{\iint_{D} d S}\]
Es decir, tenemos que resolver cuatro integrales de superficie; para ello debemos seguir los tres pasos básicos que vimos anteriormente.
Paso 1: parametrizar la superficie \(S\) por la función \(\varphi (\theta, t)\)
Comenzaremos parametrizando la superficie. Como tenemos un cilindro, utilizamos la parametrización cilíndrica.
\[\left\{\begin{array}{l}x=3 \operatorname{sen} \theta \\ y=3 \cos \theta \\ z=t\end{array}\right.\]
La función parametrización es:
\[\varphi(\theta, t)=(3 \operatorname{sen} \theta, 3 \cos \theta, t)\]
\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]
\[0 \leq t \leq 3\]
Paso 2: encontrar el vector normal a la superficie parametrizada y su módulo \(\| \vec{N} (\theta, t) \|\)
Teniendo la función \(\varphi\), ahora tenemos que calcular el módulo de la normal para resolver la integral de superficie.
La normal de una función parametrizada por \(\varphi) es:
\[\vec{N}(t, \theta)=\frac{\partial \varphi}{\partial t} \times \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\]
\[\vec{N}(t, \theta)=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 \cos \theta & -3 \operatorname{sen} \theta & 0\end{array}\right|\]
\[\vec{N}(t, \theta)=(3 \operatorname{sen} \theta, 3 \cos \theta, 0)\]
Entonces,
\[\|\vec{N}(t, \theta)\|=\sqrt{9 \operatorname{sen}^{2} \theta+9 \cos ^{2} \theta}\]
Usando la relación fundamental de la trigonometría, \(\operatorname {sen}^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1\), tenemos:
\[\|\vec{N} (t, \theta)\|= \sqrt{9} = 3\]
Bien, ahora tenemos el módulo de la normal.
Paso 3: resolver las integrales de superficie
\[\iint_{S} f d S=\iint_{D} f(\varphi(u, v))\|\vec{N}(u, v)\| d u d v\]
La primera integral es el denominador común de las tres coordenadas del centro de masas.
\[\iint_{D} d S=3 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} d t d \theta=3 \cdot 2 \pi \cdot 3=18 \pi\]
Ahora vamos a calcular cada una de las coordenadas,
\[x_{c}=\frac{\iint_{D} x d S}{\iint_{D} d S}=\frac{3 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} 3 \operatorname{sen} \theta d t d \theta}{18 \pi}=\frac{3 \int_{0}^{2 \pi} 3 \cdot 3 \operatorname{sen} \theta d t d \theta}{18 \pi}\]
\[x_{c}=\frac{3(-9 \cos \theta)_{0}^{2 \pi}}{18 \pi}=0\]
\[y_{c}=\frac{\iint_{D} y d S}{\iint_{D} d S}=\frac{3 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} 3 \cos \theta d t d \theta}{18 \pi}=\frac{3 \int_{0}^{2 \pi} 3 \cdot 3 \cos \theta d t d \theta}{18 \pi}\]
\[y_{c}=\frac{3(9 \operatorname{sen} \theta)_{0}^{2 \pi}}{18 \pi}=0\]
\[y_{c}=\frac{\iint_{D} y d S}{\iint_{D} d S}=\frac{3 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} t d t d \theta}{18 \pi}=\frac{3 \cdot 2 \pi \cdot\left(\frac{t^{2}}{2}\right)_{0}^{3}}{18 \pi}\]
\[y_{c}=\frac{6 \pi \cdot\left(\frac{9}{2}\right)}{18 \pi}=\frac{3}{2}\]
Respuesta:
Entonces, el centro de masas de la superficie es el punto:
\[C.M = \bigg(0, 0, \frac{3}{2}\bigg)\]
Ejemplo: consideramos la misma superficie con densidad constante \(\delta\), del momento de inercia en relación al eje \(x\) y su radio de giro.
Para ello, debemos utilizar las fórmulas:
\[I_{x}=\iint_{D}\left(y^{2}+z^{2}\right) f(x, y, z) d S\]
\[k_{x}=\sqrt{\frac{I_{x}}{M}}, M=\iint_{D} f(x, y, z) d S\]
Como la densidad es constante \(\delta\):
\[f(x,y,z) = \delta\]
O sea, debemos resolver las integrales de superficie siguiendo los tres pasos fundamentales.
Paso 1: parametrizar la superficie \(S\) por la función \(\varphi (\theta, t)\)
Comenzando por parametrizar la superficie. Como tenemos un cilindro, utilizaremos la parametrización cilíndrica.
\[\left\{\begin{array}{l}x=3 \operatorname{sen} \theta \\ y=3 \cos \theta \\ z=t\end{array}\right.\]
La función parametrización es:
\[\varphi(\theta, t)=(3 \operatorname{sen} \theta, 3 \cos \theta, t)\]
\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]
\[0 \leq t \leq 3\]
Paso 2: encontrar el vector normal a la superficie parametrizada y su módulo \(\|\vec{N} (\theta, t)\|\)
Teniendo la función \(\varphi\), ahora tenemos que calcular el módulo de la normal para resolver la integral de superficie.
La normal de una función parametrizada \(\varphi\) es:
\[\vec{N}(t, \theta)=\frac{\partial \varphi}{\partial t} \times \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\]
\[\vec{N}(t, \theta)=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 \cos \theta & -3 \operatorname{sen} \theta & 0\end{array}\right|\]
\[\vec{N}(t, \theta)=(3 \operatorname{sen} \theta, 3 \cos \theta, 0)\]
Entonces,
\[\|\vec{N}(t, \theta)\|=\sqrt{9 \operatorname{sen}^{2} \theta+9 \cos ^{2} \theta}\]
Usando la relación fundamental de la trigonometría, \(\operatorname{sen}^{2}\theta + \cos^{2}\theta =1\), tenemos:
\[\|\vec{N} (t, \theta)\|= \sqrt{9} \operatorname{sen}^{2}\theta+ 9 \cos^{2}\theta\]
Bien, ahora tenemos el módulo de la normal.
Paso 3: resolver las integrales de superficie usando
\[\iint_{S} f d S=\iint_{D} f(\varphi(u, v))\|\vec{N}(u, v)\| d u d v\]
La primera integral es el momento de inercia en relación a \(x\)
\[I_{x}=\iint_{D}\left(y^{2}+z^{2}\right) f(x, y, z) d S\]
\[I_{x}=\delta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3}\left(9 \cos ^{2} \theta+t^{2}\right) 3 d t d \theta\]
Integrando en relación a \(t\)
\[=3 \delta \int_{0}^{2 \pi}\left[t\left(9 \cos ^{2} \theta\right)+\frac{t^{3}}{3}\right]_{t=0}^{t=3} d \theta=\]
\[=3 \delta \int_{0}^{2 \pi} 27 \cos ^{2} \theta+9 d \theta\]
Para resolver esta integral vamos a utilizar la definición del arco doble,
\[\cos ^{2} \theta=\frac{(1+\cos 2 \theta)}{2}\]
Por tanto, la integral es
\[I_{x}=3 \delta \int_{0}^{2 \pi} \frac{27(1+\cos 2 \theta)}{2}+9 d \theta=3 \delta\left[\frac{27 \theta}{2}+\frac{27 \operatorname{sen} 2 \theta}{4}+9 \theta\right]_{\theta=0}^{\theta=2 \pi}=\]
\[=3 \delta[27 \pi+18 \pi]=3 \delta[45 \pi]=135 \pi \delta\]
\[I_{x}=135 \pi \delta\]
Paso 4:
Para calcular el radio de giro, debemos calcular la masa
\[M=\iint_{D} f(x, y, z) d S=\delta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} 3 d t d \theta=3 \delta \cdot 2 \pi \cdot 3=18 \pi \delta\]
Finalmente, el radio de giro es
\[k_{x}=\sqrt{\frac{I_{x}}{M}}=\sqrt{\frac{135 \pi \delta}{18 \pi \delta}}=\sqrt{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{2}\]
\[k_{x}=\frac{\sqrt{30}}{2}\]
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