Curvas Abiertas

Repaso - Teorema de Stokes

Sea \(S\) una superficie orientada, si \(\vec{F}=(F_{1}, F_{2}, F_{3}\) es una campo vectorial de clase \(C_{1}\) (su primera derivada es continua) y si la frontera de \(S\), que llamaremos \(\partial {S}\) está orientada positivamente, por el teorema de Stokes:

\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s=\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d r\]

Es decir, generalmente usamos el teorema de Stokes cuando encontramos una integral de línea difícil de calcular pero que posee un rotacional simple. La fórmula del rotacional es esta:

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\]

Curvas abiertas

Anteriormente vimos que el teorema de Stokes es utilizado para superficies la cuales su frontera es una curva cerrada. Pero, ¿qué pasaría si la frontera fuera una curva abierta? Y aún así notásemos que por el teorema de Stokes, el problema es fácil. Un ejemplo sería un campo que tenga \(\operatorname{rot}(\vec{F})=0\), sería fácil, ¿no?

En este caso podemos cerrar la curva. El signo de una curva cerrada coincide con el inicio. “¿Podemos cerrar la curva?” Si, se puede. Siempre y cuando hagamos una pequeña alteración a la fórmula del teorema. 

Si tenemos una curva abierta cualquiera \(C\), para poder aplicar el teorema de Stokes tenemos que cerrarla con una curva \(C_{1}\), generando una superficie \(S\)

De esta forma, el teorema de Stokes sería:

\[\int_{C} \vec{F} d \vec{r}+\int_{C_{1}} \vec{F} d \vec{r}=\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S\]

¿Fácil, no? Observa que \(C \cup C_{1}\) debe ser la frontera \(\partial {S}\), por tanto, la suma de integrales de línea vuelve al teorema original de Stokes

[\int_{C} \vec{F} d \vec{r}+\int_{C_{1}} \vec{F} d \vec{r}=\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d r\]

A fin de cuentas, lo que hicimos fue usar un truco matemático para así poder utilizar el teorema, incluso cuando se trate de una curva abierta. 

Algunas observaciones importantes:

\(1^{a} \text {Obs}:\) la integral de línea de la curva \(C_{1}\) debe ser fácil de calcular. No sirve de nada hacer todo esto para tener que calcular una integral difícil, ¿verdad?

\(2^{a} \text {Obs}:\) puedes cerrar la curva con cuantas curvas te parezca necesario, solo recuerda que tendrás que calcular todas esas integrales de línea, así que escoge con sabiduría con cuál curva vas a cerrar. 

\(3^{a} \text {Obs}:\) finalmente, para tener una resolución simple es esencial tener un rotacional fácil de integrar. De lo contrario, no vale la pena utilizar el teorema de Stokes.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo:  calcule la integral de línea \(\int_{C} \vec{F} d \vec{r}\) donde \(C\) es la intersección del cilindro \(z=1-x^{2}\) con el plano \(y+z=1\) en el intervalo \(-1 \leq x \leq 1\) y \(\vec{F}=\left(3 x^{2} y^{3}, z e^{y z}+3 x^{3} y^{2}, y e^{y z}\right)\).

Primero que nada, vamos a graficar la curva

Como puedes observar la curva es abierta, por lo que teóricamente no podríamos utilizar el teorema de Stokes. Pero, ¿por qué tratar de cerrar la curva solo para usar este teorema? ¿No será más complicado? Exacto, esa es la pregunta clave que siempre debes hacerte. En este caso cerrar la curva sería beneficioso, mira el rotacional del campo:

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\]

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(e^{y z}+y z e^{y z}-\left(e^{y z}+y z e^{y z}\right), 0-0,9 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{2}\right)\]

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=(0,0,0)\]

Perfecto, ¿no? Con el rotacional nulo, la integral doble del teorema de Stokes será igual a cero.

Esa es la primera razón por la cual vale la pena cerrar la curva. La segunda observación que debemos hacer es: procurar una curva \(C_{1}\) simple para cerrar la otra curva, generalmente una recta es una buena opción, en este caso:

Como puedes ver, el enunciado nos ha dado la curva \(C\) en el intervalo de \(-1 \leq x \leq 1\), por tanto, el sentido que escogimos para la nueva curva debe ser tal que se forme una superficie orientada.

Volviendo al enunciado, los extremos de la curva \(C\) son los puntos en que

\[x=1, y=1, z=0 \rightarrow(1,1,0)\]

\[x=-1, y=1, z=0 \rightarrow(-1,1,0)\]

Por tanto, la recta es la que une desde \((1,1,0)\) hasta \((-1,1,0)\) y podemos parametrizarla como \((-t, 1,0)\) donde \(-1 \leq t \leq 1\). Increíblemente fácil, ¿verdad?

Volviendo al enunciado del teorema de Stokes

\[\int_{C} \vec{F} d \vec{r}+\int_{C_{1}} \vec{F} d \vec{r}=\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S\]

Donde \(\operatorname{rot}(\vec{F})=(0,0,0)\), por tanto, la integral doble es igual a cero.

Solo debemos calcular la integral de línea de la curva. Para terminar, tenemos:

\[C_{1}: \sigma(t)=(-t, 1,0)\]

\[\sigma^{\prime}(t)=(-1,0,0)\]

\[\vec{F}(x, y, z)=\left(3 x^{2} y^{3}, z e^{y z}+3 x^{3} y^{2}, y e^{y z}\right)\]

\[\vec{F}(t)=\left(3 t^{2}, 0+3(-t)^{3}, 1 e^{0}\right)\]

\[\vec{F}(t)=\left(3 t^{2},-3 t^{3}, 1\right)\]

\[=\int_{-1}^{1}-3 t^{2} d t=-\left[t^{3}\right]_{-1}^{1}=-[1-(-1)]\]

\[\int_{C_{1}} \vec{F} d \vec{r}=-2\]

Por tanto, ahora solo volvemos al teorema de Stokes

\[\int_{C} \vec{F} d \vec{r}=-\int_{C_{1}} \vec{F} d \vec{r}\]

\[\int_{C} \vec{F} d \vec{r}=-(-2)\]

\[\int_{C} \vec{F} d \vec{r}=2\]

Sencillo, ¿no? Sin embargo, es importante saber reconocer cuándo vale la pena cerrar la curva. ¡Vamos a los ejercicios!