Recta Normal y Plano Tangente
Gráfico de Superficies
En este ocasión aprendemos a hallar el gráfico de las parametrizaciones de superficies.
¿Recuerdas que hacíamos para verificar si las parametrizaciones cilíndricas y esféricas eran correctas? No te preocupes si no lo recuerdas, porque lo veremos nuevamente.
Ejemplo: sea la ecuación parametrizada \(\varphi(t, u)=\left(t-2, \frac{4-u-2 t}{3}, u\right)\), vamos a encontrar su ecuación explícita. “¿Pero cómo comienzo un problema de esos?”
Organizar las variables es un buen comienzo:
\[\left\{\begin{array}{l}x=t-2 \\ y=\frac{4-u-2 t}{3} \\ z=u\end{array}\right.\]
El siguiente paso es encontrar una manera de relacionar \(x\), \(y\) y \(z\). En este caso, una forma de hacerlo es despejando los parámetros en función de cualquiera de las variables y sustituir en la otra. Veamos cómo funciona en la práctica:
\[\left\{\begin{array}{l}t=x+2 \\ u=z\end{array}\right.\]
La única variable que no usamos fue \(y\). Entonces sustituimos \(t\) y \(u\) en la ecuación \(y\), veamos si es una buena idea:
\[y=\frac{4-u-2 t}{3} \rightarrow y=\frac{4-z-2(x+2)}{3}\]
Como puedes ver, ahora ni \(t\) ni \(u\) están en la expresión. Entonces, reorganizamos lo que encontramos.
\[3 y=4-z-2 x-4\]
\[2 x+3 y+z=0\]
¡Tenemos una ecuación explícita que representa un plano!
Ejemplo: veremos un caso diferente y más complicado que el anterior. Tenemos la siguiente ecuación paramétrica:
\[\varphi(u, t)=(3 u \operatorname{sen}(t), 2 u \cos (t), u)\]
Vamos a comenzar ordenando las variables:
\[\left\{\begin{array}{c}x=3 u \operatorname{sen}(t) \\ y=2 u \cos (t) \\ z=u\end{array}\right.\]
En el ejemplo anterior dejamos los parámetros en función de dos variables y sustituimos en la tercera. En este caso resulta complicado despejar \(t\) en función de alguna variable… ¡Pero no te preocupes! Vamos a recordar una relación importante que vimos en el tema anterior:
La relación fundamental de la trigonometría. Entonces, tenemos que:
\[\operatorname{sen}^{2}(t)+\cos ^{2}(t)=1\]
Pero conocemos los valores de \(\operatorname{sen}(t)\) y \(\cos (t)\),¿verdad?
\[\left\{\begin{array}{l}\cos (t)=\frac{y}{2 u} \\ \operatorname{sen}(t)=\frac{x}{3 u}\end{array}\right.\]
Sustituyendo en la relación fundamental tenemos:
\[\left(\frac{y}{2 u}\right)^{2}+\left(\frac{x}{3 u}\right)^{2}=1\]
Bien… Pero todavía tenemos el parámetro \(u\) en la ecuación. Observando las variables vemos que \(u=z\), entonces vamos a sustituir y ver resultado:
\[\frac{y^{2}}{4 z^{2}}+\frac{x^{2}}{9 z^{2}}=1\]
Reorganizando para tener más clara la superficie, tenemos:
\[\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{9}=z^{2}\]
¡Listo! Y aprendimos otra forma de hallar la ecuación cartesiana.
Truco para hacer gráficos
Ya sabemos encontrar la ecuación cartesiana pero, ¿cuál es su utilidad?
Bien, para construir un gráfico existe un truco que funciona mejor si la superficie está en su forma explícita.
El consejo es: llevar a cero una variable a la vez
¡Veamos un ejemplo!
Ejemplo: construya el gráfico de la ecuación \(z=x^{2}+y^{2}\)
Vamos a comenzar viendo qué ocurre cuando hacemos \(x=0\), la ecuación queda \(z=y^{2}\), lo que es una parábola con vértice en el origen en el plano \(yz\), mira:
Ahora vamos a hacer \(y=0\), entonces tenemos \(z=x^{2}\), de la misma forma obtendremos una parábola con vértice en el orígen en el plano \(xz\), mira:
Finalmente, haciendo \(z=0\) tenemos que \(x^{2}+y^{2}=0\) que solamente ocurre en el origen. Entonces la intersección de la superficie con el plano \(xy\) es un punto, específicamente, el origen.
Ahora que vimos la intersección de cada plano con la superficie nos resulta más fácil graficarla. Mira el resultado final:
Recta normal y Plano tangente
Ya sabemos parametrizar superficies de forma explícita, avanzada, etc. Sin embargo, para realmente comenzar a integrar superficies, vamos a necesitar ampliar nuestros conocimientos con: la recta normal y el plano tangente a la superficie.
Para cada punto \(P_{0}\) de una superficie cualquiera va a existir un plano tangente y un vector normal. Por ejemplo, para un paraboloide \(z=9-x^{2}-y^{2},\), en el punto \(P_{0}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 8\right)\) solamente existe el plano tangente (azul) y el vector normal (rojo):
Como puedes notar ambos conceptos están relacionados. El plano tangente es fácil de observar, solamente debemos “detenernos” en un punto de la superficie. Mientras que el vector normal será perpendicular al plano que creamos. Es un poco confuso, ¿qué opinas si vemos algunos ejemplos?
Ejemplos
¿Cómo calculamos todo eso? Primero, vamos a necesitar una parametrización de superficie, en este caso, del paraboloide. La parametrización explícita será esta:
\[\varphi(x, y)=\left(x, y, 9-x^{2}-y^{2}\right)\]
Para hallar el vector normal, siempre vamos a necesitar derivar la superficie en relación a dos parámetros de forma independiente, entonces:
\[\frac{\partial \varphi}{\partial x}=(1,0,-2 x)\]
\[\frac{\partial \varphi}{\partial y}=(0,1,-2 y)\]
La primera derivada, en el punto \(P_{0}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 8\right)\), geográficamente pertenece al plano tangente:
La segunda derivada también pertenece al plano tangente:
Si tenemos dos vectores que pertenecen al plano tangente podemos hallar la ecuación de su vector normal y, por consecuencia, hallar la ecuación del plano. Para ello, tenemos que hacer el producto vectorial entre ambas derivadas:
\[\vec{N}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \times \frac{\partial \varphi}{\partial y}\]
\[\vec{N}=(1,0,-2 x) \times(0,1,-2 y)=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 1 & 0 & -2 x \\ 0 & 1 & -2 y\end{array}\right|\]
¿Recuerdas cómo resolver un determinante? Se deben repetir las primeras dos columnas, y luego multiplicar “cruzado”:
\[\vec{N}=2 x \boldsymbol{i}+2 y \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}=(2 x, 2 y, 1)\]
Esta es la normal en cualquier punto del paraboloide. Generalmente el problema te pedirá la normal en un punto \(P^{0}\) en específico. Lo cual no es complicado, simplemente debemos sustituir los valores. En el ejemplo:
\[P_{0}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 8\right)\]
Tiendo la normal y el punto \(P^{0}\), encontrar la ecuación del plano es fácil: para ello, utilizamos la siguiente ecuación:
\[\vec{N} \cdot\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right)=0\]
\[(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) \cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}, y-\frac{\sqrt{2}}{2}, z-8\right)=0\]
\[\sqrt{2} x-\frac{2}{2}+\sqrt{2} y-\frac{2}{2}+z-8=0\]
\[\sqrt{2} x+\sqrt{2} y+z=10\]
La ecuación de la recta normal es:
\[r(t)=P_{0}+\vec{N} t\]
En este caso, tendremos:
\[x(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2} t\]
\[y(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2} t\]
\[z(t)=8+t\]
Truco - Parametrización explícita
Cuando tenemos la parametrización explícita, es decir, \(\varphi(x, y)=(x, y, f(x, y))\), existe una fórmula que nos da directamente el vector normal:
\[\vec{N}=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)\]
En el ejemplo del paraboloide \(f(x, y)=9-x^{2}-y^{2}\):
\[\frac{\partial f}{\partial x}=-2 x, \frac{\partial f}{\partial y}=-2 y\]
En la fórmula del truco:
\[\vec{N}=(2 x, 2 y, 1)\]
Como puedes observar el resultado es el mismo, lo único distinto es que nos ahorramos un montón de operaciones matemáticas.
Sencillo, pero debes tener cuidado. No siempre la parametrización explícita es fácil, la fórmula anterior aplica para aquellos casos en donde el problema te da la parametrización.
Para finalizar el tema, veamos cuáles son los pasos a seguir:
Paso 1: encontrar la parametrización de la superficie
Paso 2: derivar la superficie en relación a los dos términos de manera separada.
Paso 3: calcular el vector normal por el producto vectorial de las dos derivadas.
Paso 4: encontrar la parametrización de la recta normal \(-x(t) y(t)\) y \(z(t)\) - a partir del punto \(P_{0}\) y de la recta normal \(\vec {N}\)
Paso 5: obtener la ecuación del plano tangente por el producto escalar:
\[\vec{N} \cdot\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right)=0\]
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