Caso vectorial

Integral de superficie - campo vectorial

Para definir las integrales de superficie de los campos vectoriales necesitamos, primero que nada, interpretar una superficie de forma vectorial. ¿Cómo lo hacemos? Vamos a escoger una superficie \(S\) que sea regular. Definimos, en todos los puntos de \(S\), vectores perpendiculares a la superficie, generando un campo vectorial. 

Ya vimos que el producto vectorial \(\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\) representa un vector normal a la superficie parametrizada por \(\varphi(u,v)\), ¿verdad? Por tanto, si quisiéramos un campo de vectores normales unitarios, solo debemos dividir dicha expresión por el módulo de ese vector, de esta forma:

\[\overrightarrow{n_{1}}(u, v)=\frac{\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}}{\left\|\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right\|}\]

Pero, si lo piensas bien, para cada punto, hay dos vectores perpendiculares a la superficie; uno opuesto al otro. En este caso, tenemos dos campos vectoriales, \(\overrightarrow{n_{1}}(u, v)\) y \(\overrightarrow{n_{2}}(u, v)\), con

\[\overrightarrow{n_{1}}(u, v)=-\overrightarrow{n_{2}}(u, v)\]

Si fijamos sobre \(S\) uno de esos campos unitarios, entonces, decimos que tenemos una superficie orientada por el campo vectorial \(\vec{n}\).

Entonces, siendo \(\vec{F}\) un campo continuo, definido sobre la superficie \(S\), definimos la integral de superficie de \(\vec {F}\)  sobre \(\vec{S}\) de esta forma:

\[\iint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{S}}=\iint_{S} \vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} d S\]

Como puedes observar se trata de un producto escalar, por tanto, el resultado es un número. Esta función escalar \(\vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}\) nos da el componente del campo \(\vec{F}\) en la dirección del vector \(\vec{n}\), como una proyección.

Bien, ahora necesitamos saber cómo calcular esa integral. Ya vimos que el diferencial del área \(dS\) puede ser sustituido por \(\left\|\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right\| d u d v\), entonces haremos eso. También sustituiremos la expresión que definimos para \(\vec{n}\).

\[\iint_{S} \vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} d S=\iint_{D} \vec{F}(\varphi(u, v)) \cdot \frac{\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}}{\| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}}\|\| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \| d u d v\]

\[\iint_{S} \vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} d S=\iint_{D} \vec{F}(\varphi(u, v)) \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} d u d v\]

Es decir, no siempre necesitamos calcular la normal unitaria. La normal

\[\vec{N}(u, v)=\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\]

Es suficiente para calcular la integral del campo \(\vec{F}\) sobre la superficie.

En realidad, esta fórmula es parecida a la que vimos para las integrales de superficies escalares, la gran diferencia es que eliminamos el módulo del vector normal \(\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\).

Observación: existe otra forma de escribir la integral de superficie de un campo vectorial \(\vec {F}\), aprendemos que esta es definida como

\[\iint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{S}}\]

Pero, siendo \(\vec{F}=\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)\) el campo, definimos la integral de superficie como

\[\iint_{S}\left(F_{x} d y d z+F_{y} d z d x+F_{z} d x d y\right)\]

Interpretación física - Flujo

Entonces, ¿para qué sirve la integral de superficie de un campo vectorial?

Nuevamente vamos a tomar la superficie \(S\), pero ahora imaginando que un fluido fluye a través de esta. Supongamos un campo vectorial \(\vec{F}\) que nos da en cada punto la velocidad del fluido. Entonces, queremos calcular el flujo \(\phi\) a través de la superficie \(S\).

Si analizamos un punto cualquiera, el vector \(\vec{F}\) posee una componente perpendicular y una paralela a la superficie. Por el concepto de flujo, la tasa de flujo por unidad de tiempo, sabemos que solo la componente perpendicular de \(\vec{F}\) contribuye al flujo sobre \(S\), pues esta representa la velocidad de entrada o salida del fluido. Siendo así, haremos el producto escalar \(\vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}\) para obtener esta proyección (recuerda que \(\vec{n}\) es un vector unitario). 

El volúmen que pasa a través de \(S\) por unidad de tiempo es dado, entonces, por el producto entre la componente velocidad y el área de la superficie:

\[\phi=\vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} \space \text { área } \space (\mathrm{S})\]

De la misma forma en la que lo hicimos en los capítulos anteriores, dividimos \(S\) en \(S_{ij}\) pedazos y obtenemos la Suma de Riemann. Tomando el límite de dicha suma, llegamos a la integral de superficie:

\[\phi=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \vec{F}\left(P_{i}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}\left(P_{i}\right) \Delta S_{i j}=\iint_{S} \vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} d S\]

Veamos un ejemplo para entender mejor lo que se está hablando.

Ejemplo: calcule el flujo \(\iint_{S}(F \cdot n) d S\) del campo vectorial \(F=(x,y,x^{2}z)\) sobre la parte de la superficie \(S\) dada por \(x^{2}+y^{2}=4\) que es limitada por los planos \(z=0\) y \(z=4\) y orientada con la normal apuntando hacia afuera de \(S\).

Paso 1: graficar la superficie

Tenemos un cilindro que va desde la coordenada \(z=0\) hasta la \(z=4\), como podemos ver. Representamos el campo vectorial \(\vec{n}\) que orienta la superficie por uno de sus vectores:

Paso 2: parametrizar \(S\)

Como se trata de un cilindro, utilizaremos coordenadas cilíndricas \(x=r \cos \theta, y=r \operatorname{sen} \theta\) y \(z=z\). Como su radio es fijo \(r=2\), tenemos:

\[\varphi(\theta, z)=(2 \cos \theta, 2 \operatorname{sen} \theta, z)\]

Donde \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) y \(0 \leq z\leq 4\).

Paso 3: calcular \(\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} \times \frac{\partial \varphi}{\partial z}\) (en este paso, tenemos que verificar la orientación de \(\vec{n}\))

\[\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}=(-2 \operatorname{sen} \theta, 2 \cos \theta, 0)\]

\[\frac{\partial \varphi}{\partial z}=(0,0,1)\]

\[\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} \times \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 \operatorname{sen} \theta & 2 \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=(2 \cos \theta, 2 \operatorname{sen} \theta, 0)\]

Pero ocurre esto: en el caso escalar tomábamos el módulo del vector normal, entonces no nos importaba cuál de los dos vectores normales estábamos eligiendo. En este caso, el enunciado siempre nos dirá cuál escoger. Solo debemos verificar si al hacer las operaciones estamos escogiendo el vector del enunciado. 

Observando la figura, vemos que en \([0, \pi/2]\) las componentes \(x\) y \(y\) del vector son positivas, lo que está de acuerdo con \((2 \cos \theta, 2 \operatorname{sen} \theta, 0)\). Si hubiéramos hecho el producto \(\frac{\partial \varphi}{\partial z} \times \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\) encontraríamos la orientación opuesta.

Paso 4:  armar la integral 

\[\iint_{S} \vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} d S=\int_{0}^{4} \int_{0}^{2 \pi} \vec{F}(\theta, \mathrm{z}) \cdot(2 \cos \theta, 2 \operatorname{sen} \theta, 0) d \theta d z\]

Escribiendo el campo en función de las variables de parametrización, tenemos:

\[\int_{0}^{4} \int_{0}^{2 \pi}\left(2 \cos \theta, 2 \operatorname{sen} \theta, 4 \cos ^{2} \theta z\right) \cdot(2 \cos \theta, 2 \operatorname{sen} \theta, 0) d \theta d z\]

\[\quad \int_{0}^{4} \int_{0}^{2 \pi}\left(4 \cos ^{2} \theta+4 \operatorname{sen}^{2} \theta\right) d \theta d z=4 \int_{0}^{4} \int_{0}^{2 \pi} d \theta d z\]

Paso 5: resolver la integral

\[=\left.4 \int_{0}^{4} \theta\right|_{0} ^{2 \pi} d z=\]

\[=8 \pi \int_{0}^{4} d z=\]

\[=\left.8 \pi z\right|_{0} ^{4}=\]

\[32 \pi\]

Veamos los pasos a seguir para este tipo de problemas.

Paso 1: graficar la superficie 

Paso 2: parametrizar \(S\)

Paso 3: calcular \(\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} \times \frac{\partial \varphi}{\partial z}\), recuerda revisar la orientación de \(\vec{n}\)

Paso 4: armar la integral

Paso 5: resolver la integral

¡Vamos a los ejercicios!