Teorema de Gauss

Introducción

El teorema de Gauss, también conocido como “Teorema de la divergencia”, es aquel relaciona una integral triple sobre un volúmen \(W\) con una integral de superficie sobre su frontera, la cual es llamada \(\partial{W}\).

Para aprender a aplicar el teorema de Gauss debemos tener en cuenta dos conceptos. Primero, tenemos que saber orientar la superficie \(\partial{W}\) que limita el sólido \(W\). Ya sabemos que una superficie es orientada por un campo vectorial \(\vec{n}\) de vectores normales a ella, pero existen dos posibilidades, ¿cuál escogemos? Para que una superficie que limita un sólido esté orientada positivamente, su vector normal siempre debe apuntar hacia afuera del sólido. Observa el ejemplo:

La región \(W\) se encuentra entre dos esferas de radios distintos. Como puedes ver, \(\vec{n}\) siempre apunta hacia afuera de \(W\).

En este tema veremos un nuevo concepto: el divergente de un campo vectorial. Para ello, considera un campo vectorial \(\vec{F}\bigg(x,y,z\bigg)= \bigg(F_{1}, F_{2}, F_{3}\bigg)\) que tenga derivadas definidas en \(\mathbb{R}^{3}\). Siendo así, su divergente viene dado por:

\[\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}\]

Podemos obtener la expresión haciendo el producto escalar

\[\operatorname{div}(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}\]

Donde \(nabla\) es el operador de derivadas parciales:

\[\nabla = \bigg(\frac{\partial}{\partial {x}}, \frac {\partial}{\partial {y}}, \frac {\partial}{\partial {z}}\bigg)\]

Observación: no confundas divergente con rotacional. El divergente se obtiene por un producto escalar con el operador \(\nabla\), lo que resultado en un número, mientras que el rotacional se obtiene por un producto vectorial, lo que resulta en un vector. 

Teorema de Gauss

Siendo \(\partial {W}\) una superficie orientada positivamente, frontera de una región sólida \(W\) y \(\vec{F}\) un campo vectorial que tiene varias derivadas parciales continuas en \(W\), por el teorema de Gauss se puede afirmar que:

\[\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{w} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

En otras palabras, este teorema afirma que en las condiciones anteriores el flujo \(\vec{F}\) por la superficie \(\partial {W}\) es igual a la integral triple del divergente de dicho campo en \(W\). Entonces, cuando llegues a la integral triple, necesitarás utilizar los recursos que hemos aprendido hasta ahora: cambio esférico, cilíndrico, etc. 

Ahora que hemos visto a detalle el teorema de Gauss, podemos entender un poco más su utilidad. Al igual que con el teorema de Stokes (lo usamos cuando tenemos que calcular una integral compleja), utilizando el teorema de Gauss cuando tenemos que calcular una superficie compleja. 

Ejemplo: calcule el flujo \(\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d s,\) donde \(\vec{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}, x^{2} y, y\right)\) y \(S\) la superficie del sólido limitado por el cilindro \(x^{2}+y^{2}=1\) y los planos \(z=1\) y \(z=-1\), con la normal apuntando hacia afuera de la superficie. 

Paso 1: graficar la región

Como la región limitada por \(S\) es cerrada y \(S\) está orientada positivamente, podemos aplicar el teorema de Gauss, tenemos:

\[\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{w} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

Paso 2: calcular \(div \bigg(\vec{F}\bigg)\)

\[\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}=y^{2}+x^{2}\]

Paso 3: armar la integral

\[\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{w} y^{2}+x^{2} d x d y d z\]

Donde \[W=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1 ;-1 \leq z \leq 1\right\}\].

Paso 4: hacer la sustitución cilíndrica

\[x=r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

\[z=z\]

\[|J|=r\]

La región pasa a ser descrita como \[r \leq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi,-1 \leq z \leq 1\] y la integral pasa a ser:

\[=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2 \pi}  \int_{0}^{1}\left[(r \cos \theta)^{2}+(r \operatorname{sen} \theta)^{2}\right] r d r d \theta d z=\]

\[=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} r^{3} d r d \theta d z=\]

Paso 5: resolver la integral

\[=\left.\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \frac{r^{4}}{4}\right|_{r=0} ^{r=1} d \theta d z=\]

\[\quad=\left.\frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \theta\right|_{\theta=0} ^{\theta=2 \pi} d z=\]

\[\quad=\left.\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} z\right|_{z=-1} ^{z=1}=\]

\[\pi\]