Singularidad

Repaso - Teorema de Gauss

Siendo \(\partial{S}\) una superficie orientada positivamente, frontera de una región \(W\) y \(\vec{F}\) un campo vectorial que tiene derivadas parciales continuas en \(W\), por el teorema de Gauss, se puede afirmar que:

\[\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

Pero esto sólo puede hacerse bajo tres condiciones:

  \(1.\) Curva cerrada

  \(2.\) Orientada positivamente

  \(3.\) Sin singularidad

¿Qué pasaría si te piden calcular la integral de superficie de un campo así?:

\[F(x, y, z)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, 1\right)\]

No cumple las condiciones, ¿verdad? ¿Qué hacemos en este caso? Veamos cómo se resuelven estos casos.

Singularidades

En esta ocasión vamos a aprender a resolver problemas con singularidades en el campo. Pero primero tenemos que entender qué es una singularidad.

Un campo con singularidades es un campo en el cual por lo menos un punto del dominio no está definido. El tipo de singularidad más común es el que conocemos como “división por cero”. Entonces, sea un campo

\[F(x, y, z)=\left(\frac{1}{x}, 3 x y, 7\right)\]

Como podemos ver, este campo no está definido en el punto \(x=0\). Porque en este punto la primera componente del campo, \(\frac{1}{x}\), no está definida.

Por tanto, no podemos aplicar el teorema de Gauss para sólidos.

Otro tipo de singularidad común es la raíz de números negativos. Como trabajamos con el conjunto de los números reales, no existen raíces de números negativos, por tal razón debemos estar atentos en esos casos.

En este sentido, debemos desconfiar cuando nos encontremos con fracciones o raíces.

Ahora que sabemos identificar las singularidades volvamos al ejemplo, donde tenemos que:

\[F(x, y, z)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, 1\right)\]

¿Cómo vamos a resolver eso?

Despejando la singularidad

Ya sabemos que son las singularidades; a continuación veremos una idea que se utiliza para que estas singularidades dejen de ser un problema.

En general, para despejar una singularidad, debemos escoger superficies que no incluyan estos puntos. Esto porque el teorema de Gauss puede ser aplicado a cualquier sólido que tenga borde.

Para despejar la singularidad del ejemplo, que corresponde al punto \((0,0,0)\), el orígen, lo que haremos es crear un esfera de radio \(1\)  (para facilitar el proceso) que involucre dicho punto de la singularidad y despejalar. Por tanto, tendremos dos superficies en el problema.

Si al definir este nuevo sólido surge una nueva superficie, debemos estar atentos para así sumarla en el teorema de Gauss. El signo de la nueva integral dependerá de la orientación de los vectores normales, entonces también debemos estar atentos a eso.

Asimismo, debemos escoger una nueva superficie que posea una integral fácil de calcular. 

\[\iint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s+\iint_{\partial S_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{W} d i v(\vec{F}) d V\]

Donde, \(W^{\prime}\) es el nuevo sólido, \(\partial S_{1}\) es la superficie original y \(\partial S_{2}\) es la superficie del nuevo sólido \(W^{\prime}\).

En este caso tendremos:

\[\iint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s+\iint_{E s} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

Como queremos calcular la primera integral, vamos a calcular la integral triple y la integral de superficie de la esfera y restarlas.

Entonces vamos a resolver el divergente, que se calcula por:

\[\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial \vec{F}_{1}}{\partial x}+\frac{\partial \vec{F}_{2}}{\partial y}+\frac{\partial \vec{F}_{3}}{\partial z}\]

Recordando que:

\[\vec{F}\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right)=F(x, y, z)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, 1\right)\]

Entonces:

\[\frac{\partial \overrightarrow{F_{1}}}{\partial x}=-\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}\]

\[\frac{\partial \overrightarrow{F_{2}}}{\partial y}=\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}\]

\[\frac{\partial \overrightarrow{F_{3}}}{\partial z}=0\]

\[\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial \overrightarrow{F_{1}}}{\partial x}+\frac{\partial \overrightarrow{F_{2}}}{\partial y}+\frac{\partial \overrightarrow{F_{3}}}{\partial z}=0\]

Ahora que hallamos el divergente, vamos a calcular la integral de superficie de la esfera, de la siguiente manera:

  \(1.\) Parametrizar la superficie: como la superficie es una esfera de radio \(1\), utilizaremos las coordenadas esféricas. 

\[x=\operatorname{sen} \varphi \cos \theta\]

\[y=\operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta\]

\[z=\cos \varphi\]

  \(2.\) Encontrar los límites de integración:

\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]

\[0 \leq \varphi \leq \pi\]

  \(3.\) Calcular \(\vec{F}(\varphi(\theta, \varphi))=(\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi,-\cos \theta \operatorname{sen} \varphi, 1)\)

  \(4.\) Encontrar \(\vec{n} d s\):

\[\vec{n} d s=\vec{N} d \theta d \varphi\]

\[\vec{N}=\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} X \frac{\partial \varphi}{\partial \varphi}\]

Vamos a utilizar una matriz para cancelar el producto:

\[\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ -\operatorname{sen} \theta \text {sen} \varphi & \cos \theta \operatorname{sen} \varphi & 0 \\ \cos \theta \cos \varphi & \operatorname{sen} \theta \cos \varphi & \operatorname{sen} \varphi\end{array}\right|\]

\[\vec{N} = \bigg(cos{\theta}\operatorname{sen}^{2}\varphi, \operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\varphi, \operatorname{sen}\theta \cos \varphi\bigg)\]

Pero como la normal apunta hacia el origen, todas las componentes tienen signo negativo, entonces:

\[\vec{N} = \bigg( -\cos \theta \operatorname{sen}^{2} \varphi, -\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}^{2} \varphi, -\operatorname {sen} \theta \cos \varphi\bigg)\]

  \(5.\) Ahora que tenemos \(\vec{F}\) y \(\vec{N}\), vamos a calcular \(\iint_{Es} \vec{F} \cdot \vec{n} \space {ds}\)

\[\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi}\bigg(\bigg(\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi,-\cos \theta \operatorname{sen} \varphi, 1\bigg)\bigg(-\cos \theta \operatorname{sen}^{2} \varphi,-\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}^{2} \varphi,-\operatorname{sen} \theta \cos \varphi\bigg)\]

\[\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi}-\operatorname{sen} \varphi \cos \varphi \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta=0\]

Ahora que calculamos la integral triple y la integral de superficie de la esfera, volvemos al teorema de Gauss y sustituimos los valores encontrados.

\[\iint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} \space d s+\iint_{E s} \vec{F} \cdot \vec{n} \space d s=\iiint_{W^{\prime}} \space {div}\bigg(\vec{F}\bigg) d V\]

\[\iint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s+0=0\]

Entonces, en este caso, tenemos que:

\[\iint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} \space ds = 0\]

¡Vamos a los ejercicios!