Introducción a los Límites y sus Propiedades
¡Bienvenidos, espero que estén bien!
¿Qué es un límite? Imagina que te piden calcular el siguiente límite:
\[\lim _{x \rightarrow 3} x^{2} ?\]
Lo que esa pregunta quiere decir es: ¿cuál es el valor de \(x^{2}\) cuando \(x\) tiende a tres? Y debes estar preguntándote: ¿qué significa que \(x\) tiende a tres?
Para entender, vamos a atribuirle a \(x\) los valores más cercanos a \(3\) y calcular \(x^{2}\):
\[\text {Si }x=2 \rightarrow x^{2}=4\]
\[\text {Si }x=2,5 \rightarrow x^{2}=6,25\]
\[\text {Si }x=2,999 \rightarrow x^{2}=8,994001\]
Cuanto más se aproxima \(x\) de \(3\), más se aproxima \(x^{2}\) de \(9\). Por tanto, la respuesta para el valor del límite de \(x^{2}\) cuando \(x\) tiende a \(3\) es \(9\):
\[\lim _{x \rightarrow 3} x^{2}=9\]
Quizá hayas notado que podríamos haber respondido la pregunta simplemente sustituyendo \(x\) por \(3\) en la ecuación:
\[x^{2}=3^{2}=9\]
En TODOS los problemas de límites lo primero que debes hacer es sustituir el valor de la variable en la función.
¿Y para qué sirve el límite?
A veces nos encontramos con funciones que tienen restricciones, o que no están definidas en determinados puntos. Para poder estudiar lo que ocurre con la función cuando nos aproximamos desde los puntos indefinidos usamos el límite. Por ejemplo:
\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}=?\]
Esa función, \(\frac{x^{2}+x-2}{x-1}\), no está definida para \(x=1\), porque el denominador no puede ser \(0\). Para estudiar lo que ocurre cuando \(x\) asume valores próximos a \(1\), utilizamos el límite.
Vamos a intentar calcular el límite:
\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}\]
Como no podemos sustituir \(x=1\) en la ecuación (porque de tal modo el denominador sería cero), entonces, podemos factorizar el numerador que es un polinomio de dos raíces, \(x_{1}=1\) y \(x_{2}=-2\):
\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+2)}{x-1}\]
Simplificando el término \((x-1)\), tenemos:
\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}\bigg(x+2\bigg)\]
Ahora sí podemos sustituir el valor de la variable \(x\) en la función:
\[\lim _{x \rightarrow 1}(x+2)=(1)+2=3\]
Y así descubrimos que:
\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}=3\]
Existen muchas más formas de calcular el límite que veremos más adelante.
Propiedades del Límite
Veamos las siguientes propiedades:
\(1.\) \(\lim _{x \rightarrow a} c=c\) (donde c es un número constante)
\(2.\) \(\lim _{x \rightarrow a}(c \cdot f(x))=c \cdot \lim _{x \rightarrow a} f(x)\)
\(3.\) \(\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)\)
\(4.\) \(\lim _{x \rightarrow a}[f(x) g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)\)
\(5.\) \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}\)
Y, para funciones continuas, tendremos que:
\[\lim _{x \rightarrow a} f(g(x))=f\left[\lim _{x \rightarrow a} g(x)\right]\]
Seguramente te estés preguntando qué son las funciones continuas; no te preocupes, no es necesario que sepas de ellas aún. Sin embargo, ten en cuenta que puedes usar la propiedad anterior en funciones como:
Raíces:
\[\lim _{x \rightarrow a} \sqrt{x^{3}}=\sqrt{\lim _{x \rightarrow a} x^{3}}=\sqrt{a^{3}}\]
Exponenciales:
\[\lim _{x \rightarrow a} e^{4 x}=e^{\lim _{x \rightarrow a}}=e^{4 a}\]
Funciones trigonométricas:
\[\lim _{x \rightarrow a} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)=\operatorname{sen}\left(\lim _{x \rightarrow a} x^{2}\right)=\operatorname{sen} a^{2}\]
Funciones logarítmicas:
\[\lim _{x \rightarrow a} \ln \left(x^{3}\right)=\ln \left(\lim _{x \rightarrow a} x^{3}\right)=\ln a^{3}\]
Indeterminaciones
Usar las reglas solo se torna un problema cuando no son válidas, es decir, cuando tenemos indeterminaciones. ¿Que es una indeterminación?
Imagina que queremos calcular el siguiente límite:
\[\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}\]
Si sustituimos \(x=2\) obtendremos:
\[\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{0}{0}\]
¿Cuanto es \(\frac{0}{0}\)? ¿\(0\)? ¿\(1\)? No existe respuesta para tal pregunta. Cuando llegamos a expresiones de ese tipo decimos que son indeterminaciones. Existen varios tipos de indeterminaciones, entre las más comunes están:
\(\bullet\) \(0 / 0\)
\(\bullet\) \(\infty / \infty\)
\(\bullet\) \(\infty \cdot 0\)
\(\bullet\) \(0^{0}\)
\(\bullet\) \(\infty^{0}\)
\(\bullet\) \(1^{\infty}\)
\(\bullet\) \(\infty-\infty\)
Las indeterminaciones son expresiones que no sabemos, exactamente, cómo calcular su valor y por ello, tenemos que buscar otros métodos para calcular el límite, despejando la función para que sea válido aplicar las propiedades. Para eso, aplicamos en la función la factorización, racionalización u otras técnicas.
Operando con (\(\pm \infty\))
Cuando estamos resolviendo ejercicios de límites, podemos encontrarnos con situaciones en que \(x\) tiende a \(\pm \infty\)
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}-4}{2}\]
\(\pm \infty\) NO es un número. En realidad, es la representación de un número infinitamente grande positivo o negativo.
Cuando tienes que aplicar límites de funciones con \(x\) tendiendo a \(+\infty\) o \(-\infty\) puedes llegar a una indeterminación (como vimos en el ejemplo anterior) pero no ocurre siempre. Por ello, preparamos una guía para que entiendas cómo sustituir y hacer operaciones con \(\infty\).Siendo \(C\) una constante, vamos a analizar los siguientes casos:
\(1.\) \(\frac{\pm \infty}{C}=\pm \infty\)
Ejemplo:
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-4}{2}=\frac{+\infty-4}{2}\)
¿También dirías que un número infinitamente grande menos \(4\) unidades seguiría siendo un número infinitamente grande? ¿Y cuando dividimos un número infinitamente grande por \(2\) también seguiría siendo infinitamente grande? ¿Cierto, no? Entonces, tendríamos:
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-4}{2}=\frac{+\infty-4}{2}=+\infty\]
\(2.\) \(\frac{C}{\pm \infty}=0\)
Ejemplo:
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{100}{x^{3}+2}=\frac{100}{+\infty^{3}+2}\]
Primero vamos a resolver el denominador. Un número infinitamente grande elevado al cubo más dos unidades sigue siendo un número infinitamente grande:
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{100}{x^{3}+2}=\frac{100}{+\infty^{3}+2}=\frac{100}{+\infty}\]
Ahora tenemos que resolver \(\frac{100}{+\infty}\), mira con atención:
\[\frac{100}{2}=50\]
\[\frac{100}{10}=10\]
\[\frac{100}{10000}=0,01\]
Cuanto mayor es el denominador, menor es el resultado. Entonces, si dividimos \(100\) por un número infinitamente grande, el resultado tiende a cero, por tanto:
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{100}{x^{3}+2}=\frac{100}{+\infty^{3}+2}=\frac{100}{+\infty}=0\]
\(3.\) \(e^{+\infty}=+\infty \space ; \space e^{-\infty}=0\)
Esta parece complicada, pero no lo es.
\(e\) es un número, como cualquier otro. Entonces:
\[e^{+\infty}=e \times e \times e \times \ldots \times e \times e \times e \ldots \text{(infinitas veces)}\]
Un número multiplicado por sí mismo infinitas veces es un número infinitamente grande.
\[e^{+\infty}=e \times e \times e \times \ldots \times e \times e \times e \ldots=+\infty\]
Por otro lado, donde \(e^{-\infty}\), tenemos que:
\[e^{-\infty}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \ldots \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \ldots \text {(infinitas veces)}\)]
Podemos pensar que:
\[e^{-\infty}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \ldots \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \ldots=\frac{1}{e^{+\infty}}\]
Ya sabemos que \(e^{+\infty}=+\infty\) y \(\frac{1}{\pm \infty}=0\), entonces:
\[e^{-\infty}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \ldots \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \times \frac{1}{e} \ldots=\frac{1}{e^{+\infty}}=0\]
\(4.\) \(\text{sen}(\pm \infty) \text { no existe } ; \space \cos (\pm \infty)=\text {no existe}\)
En este caso tenemos que recordar que las funciones \(\text{sen}(x)\) y \(\cos(x)\) asumen valores que varían de \([-1,1]\). Cuando el límite tiende a \(\pm \infty\), a medida que el valor de \(x\) crece, el valor de \(\text{sen}(\pm\infty)\) y \(\cos(\pm\infty)\) también varía entre \([-1,1]\), pero sin nunca aproximarse a una de ellas. Por tal motivo el límite no existe.
\(5.\) \((-\infty)^{n}=+\infty \space \text { si } n \text{ es par} \space ; \space(-\infty)^{n}=-\infty, \text{ si } n \text { es impar}\)
Como \(\pm\infty\) es la representación de un número infinitamente grande, seguirá las mismas reglas de potenciación que un número cualquiera, entonces si \(n \text{ es par } (+\infty)^{n}=+\infty\) y si \(n \text{ es impar} (-\infty)^{n}=-\infty\)
\(6.\) \(\ln (+\infty)=+\infty\)
\(\ln\) es el logaritmo neperiano, es decir, cuando escribimos \(\ln(x)\) queremos responder: ¿\(e\) elevado a qué número, es igual a \(x\)? Cuando tenemos \(x=+\infty\), queremos responder la siguiente pregunta: ¿\(e\) elevado a qué número, es igual a \(+\infty\)? Ya sabemos que \(e^{+\infty}=+\infty\) entonces, \(\ln(+\infty)=+\infty\)
\(7.\) \(\operatorname{arctg}(+\infty)=\frac{\pi}{2} \space ; \space \operatorname{arctg}(-\infty)=-\frac{\pi}{2}\)
Para entender esta propiedad podemos mirar el gráfico de la función \(\operatorname {arctg}(x)\):
\(\operatorname {arctg}(x)\) es una función que está limitada por \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\), entonces cuando tenemos \(x\) tendiendo a \(\pm\infty\) el valor de \(\operatorname {arctg}(x)\) se aproxima a \(\pm\frac{\pi}{2}\). Entonces: \(\operatorname {arctg}(+\infty)=\frac{\pi}{2}; \operatorname {arctg}(-\infty)=-\frac{\pi}{2}\)
Sé que el tema es un poco largo pero es esencial que lo aprendas. ¡Vamos a los ejercicios!
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