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Calculisto

Teorema del Sandwich

Tiene un nombre divertido, pero tiene muchas aplicaciones, particularmente cuando nos encontramos con el siguiente problema:

 

\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x}\]

 

¿Cómo calcularían eso? Bueno, la respuesta está en pensar en un sandwich. El relleno debe estar entre un pan y otro, ¿no? Bueno, apliquemos un poco de matemática para poder entender de qué estamos hablando.

 

Primero veamos el concepto general, y después iremos al ejemplo de arriba. Para esto, imaginemos que tenemos una función \(h(x)\), otra \(g(x)\), y una \(f(x)\)

 

Queremos calcular el límite de \(h(x)\) (que sería nuestro relleno) para \(x \rightarrow a\) a y sabemos que:

 

\[f(x) \leq h(x) \leq g(x)\]

 

Esto se debe leer como que \(h(x)\) está entre \(f(x)\) y \(g(x)\) (que serían nuestros panes)

Ahora aplicaremos límite a todo:

 

\[\lim _{x \rightarrow a} f(x) \leq \lim _{x \rightarrow a}h(x)\leq\lim_{x\rightarrow a} g(x)\]

 

Si sucede que:

 

\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L\]

(siendo L un número)

Entonces:

 

\[\lim _{x \rightarrow a} h(x)=L\]

 

Porque pasa que \(h(x)\) se encuentra entre las dos funciones. Este teorema es muy útil para calcular límites con senos y cosenos. Veamos por qué:

 

Por si no lo sabían, el seno y el coseno están acotados a ciertos valores, es decir, como máximo pueden tomar el valor 1, y como mínimo el -1. Por lo tanto, podemos definir lo siguiente:

 

\[-1 \leq \operatorname{sen} x \leq 1\]

 

Esto es así para cualquier valor de \(x\). Y si dividimos a todas las partes por \(x\) y les aplicamos el límite, nos quedaría lo siguiente:

 

\[-\frac{1}{x} \leq \frac{\operatorname{sen} x}{x} \leq \frac{1}{x}\Longrightarrow  \\ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right) \leq \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x} \leq \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}\]

 

Por lo tanto:

 

\[0 \leq \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x} \leq 0\]

 

Finalmente, por el teorema del sandwich, podemos afirmar lo siguiente:

 

\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=0\]

 

Teorema del emparedado sin f. trigonométricas

No necesariamente el teorema del sandwich es sólo para funciones trigonométricas. Nos pueden dar un problema con una función que está definida entre ciertos valores, dando lugar a que usemos este teorema. Veamos un ejemplo:

 

Queremos calcular el siguiente límite:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}\]

 

Sabiendo que \(f(x)\) está acotada a los siguientes valores:

 

\[2 \leq f(x) \leq 5\]

 

Entonces, como antes, dividimos por \(x\) y aplicamos límite en todos los lados:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2}{x} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5}{x} \Longrightarrow 0 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} \leq 0\]

 

Finalmente, por el teorema del sandwich:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0\]

 

¡Gran consejo!

Sí les piden calcular un límite de la función seno o coseno, o les dan una función que está acotada entre ciertos valores, es probable que tengan que usar el teorema del sandwich!

 

¿Saben qué es lo que sigue, no? Exacto, ¡ejercicios!

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