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Calculisto

Cociente de funciones con \(x \rightarrow\) Infinito

¿Cómo resolverían el siguiente límite?

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}+x+1}\]

 

Casi parece que es así, no?

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}+x+1}=\frac{\infty}{\infty}=1\]

 

La respuesta es no! Aunque las dos tiendan al infinito, no crecerán de igual manera. Pueden probarlo ustedes mismos: basta con poner distintos valores a ambos polinomios y verán rápidamente que una crece más que la otra. Es decir: \(x^{3}\) crece “más rápido” que \(x^{2}\).

 

Calculando los límites

Entonces, para resolver estos problemas, basta con ver el mayor grado de cada polinomio (el del denominador y el del numerador) y hacer factor común con ellos. Esto es, “sacar” el exponente más grande, y dividir al resto del polinomio por ese exponente

 

En el ejemplo, el mayor exponente del numerador es \(x^{3}\), y el del denominador es \(x^{2}\). Por lo tanto, nos quedará lo siguiente:

 

 \[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}+x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}\left(1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}\]

 

Luego, como ya sabemos, simplificaremos y nos quedará:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}\left(1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)}{\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}\]

 

Finalmente, los términos divididos por \(x\) en el denominador tienden a cero, entonces:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\left(\lim _{x \rightarrow \infty} x\right)\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\right)\]

 

\[=(\infty) \frac{(1+0+0)}{(1+0+0)}=\infty\]

 

Cuando hay raíz

Supongamos que nos encontramos con el siguiente caso:

 

\[\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{\sqrt{4 x^{2}+8 x}}\]

 

El procedimiento es el mismo, pero hay que tener cuidado cuando trabajamos con raíces porque puede aparecer un módulo!

 

\[\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x+1}{\sqrt{4 x^{2}+8 x}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}\left(4+\frac{8}{x}\right)}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{|x| \sqrt{\left(4+\frac{8}{x}\right)}}\]

 

Como pueden ver, al tener una raíz par, esta sale con el módulo. Cuidado con esto, porque puede ser que cambie el signo del límite! Vean que \(x\) tiende a \(-\infty\), por lo que \(|x|=-x\). Si \(x\) tendiese a \(\infty\), entonces \(|x|=x\)

 

\[\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{|x| \sqrt{\left(4+\frac{8}{x}\right)}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{-x \sqrt{\left(4+\frac{8}{x}\right)}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)}{-\sqrt{\left(4+\frac{8}{x}\right)}}=-\frac{1}{2}\]

 

Consejo importante:

Observen que en este tipo de ejercicios pueden pasar 3 cosas: el grado del numerador será mayor que el del denominador, entonces el límite tenderá a infinito; el grado del numerador será igual al del denominador, entonces el límite tenderá a algún número (es decir, distinto de \(\pm \infty\); o el grado del numerador será menor que el del denominador, por lo que  el límite tenderá a cero!

 

Cociente de Funciones Exponenciales

Veamos un último caso que  puede parecer más complicado, pero es más de lo mismo:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3^{x}-2^{x}}{4^{x}+5}\]

 

Tenemos otro caso de \(\infty / \infty\).

 

Pero en este caso, vemos que no hay “mayor” o “menor” grado de los polinomios. Esto es porque no son polinomios! Pero sí podemos ver que hay “mayor” y “menor” grado de los números que están siendo elevados a la \(x\). 

 

Entonces haremos lo mismo que estuvimos haciendo antes, vamos a hacer factor común de la mayor base (base es el número que está siendo elevado a la \(x\)). Veamos cómo nos queda:

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3^{x}-2^{x}}{4^{x}+5}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3^{x}\left(\left(\frac{3^{x}}{3^{x}}\right)-\left(\frac{2^{x}}{3^{x}}\right)\right)}{4^{x}\left(\left(\frac{4^{x}}{4^{x}}\right)+\left(\frac{5}{4^{x}}\right)\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3^{x}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)}{4^{x}\left(1+5\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right)}\]

 

Juntamos los términos para poder ver mejor para dónde va el límite:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3^{x}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)}{4^{x}\left(1+5\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{x}}{4^{x}}\right) \frac{\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)}{\left(1+5\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{x} \frac{\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)}{\left(1+5\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right)}\]

 

Y como ya sabemos, todo número menor que 1 elevado a la \(\infty\) es igual a 0. Entonces:

 

\[\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{x} \frac{\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)}{\left(1+5\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right)}=0 \frac{(1-0)}{(1+5(0))}=0\]

 

¡Y ahora solo les queda practicar! Ustedes pueden!

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