Límite Fundamental Exponencial

Vamos a presentarles otro caso en donde en lugar de calcular un límite entero, simplemente tienen que llegar a una expresión, y cuando llegan a ella, habrán llegado al resultado que querían. Este es el límite fundamental exponencial:

\[\lim _{u \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}=e\]

Como pueden observar, una vez que llegan a la expresión del tipo \(\left (1+\frac{1}{u}\right)^{u}\) dicen que el límite tiende a \(e\), cuando \(u\) tiende a \(+\infty\)

Donde esa “e” es la base neperiana, que vale aproximadamente \(e \cong 2,72\), pero no tienen que sustituir el valor, simplemente dejen la respuesta en función de \(e\).

Vamos con un ejemplo para ilustrar la situación:

\[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{4 x}\]

Al sustituir caemos en una indeterminación del tipo \(1^{\infty}\). Para resolver estos problemas haremos una sustitución para que nos quede exactamente como el límite fundamental exponencial:

\[\frac{1}{u}=\frac{2}{x} \rightarrow x=2 u\]

Entonces, con esa igualdad entre \(x\) y \(u\) tenemos en el exponente a:

\[4 x=4(2 u)=8 u\]

No se olviden de sustituir a \(x\) por \(u\) en el límite. Es decir, si tenemos \(x \rightarrow+\infty\) y \(u=\frac{x}{2}\), entonces:

\[u \rightarrow \frac{(x)}{2}=\frac{\infty}{2}=\infty ; u \rightarrow \infty\]

Ahora ponemos todo en el límite original:

\[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{4 x}=\lim _{u \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{8 u}\]

Podemos sacar el exponente, y nos quedaría:

\[\lim _{u \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{8 u}=\lim _{u \rightarrow+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}\right)^{8}=\left(\lim _{u \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}\right)^{8}=e^{8}\]

Ahí tenemos nuestra respuesta: \(e^{8}\).

Básicamente tienen que entender que los problemas se presentarán de manera que le tengan que calcular el límite a \((1+f(x))\). En este caso, el \(f(x)\) fue el \(\left(\frac{2}{x}\right)\). Lo fácil es que al 1 lo vamos a dejar como está, mientras que al \(f(x)\) lo igualaremos al \(\left(\frac{1}{u}\right)\) y sacaremos la relación entre \(x\) y \(u\). Finalmente reemplazamos, y llevamos al límite fundamental exponencial!

¡Cuidado! El problema también puede presentarse de la siguiente manera:

En lugar del usual \(\left (\frac{1}{u}\right)\), aparecerá \(h\), entonces:

\[u \rightarrow \infty ; h \rightarrow 0\]

Y nos queda que:

\[\lim _{u \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}=\lim _{h \rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\]

Y por último:

\[\lim _{h \rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e\]

Estas son las dos formas en que pueden llegar al límite fundamental exponencial. Ambas son correctas, y se puede usar una o la otra. Con práctica, se darán cuenta que en ciertos casos es más fácil llegar a una de las dos. 

¡Así que ya saben que hacer: a practicar!