Continuidad

La continuidad es un concepto matemático que indica que el gráfico de una función \(f(x)\) está compuesto por un solo trozo de curva, en lugar de varios. 

Por tanto, en esencia, una función es continua en un punto cuando:

\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\]

En general, podemos decir que una función es continua cuando en su dominio, el límite de la función coincide con el valor que toma la función es ese punto. Como seguramente recuerdes, para que el límite exista es necesario que sus límites laterales sean iguales. 

\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)\]

¿Y si los límites laterales son iguales la función es contínua? Veámoslo en el siguiente ejemplo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2},} & {x \neq 3} \\ {10,} & {x=3}\end{array}\right.\]

La función es un poquito extraña así que veamos su gráfico para entenderla mejor:

Como puedes ver, \(f(3)=10\)

Si analizamos los límites laterales, veremos que \(\lim _{x \rightarrow 3} x^{2}=9\), pero como la función no asume dicho valor en ese punto, decimos que el límite no existe. Por tanto, la función es discontinua en ese punto. Para el resto de puntos la función será continua. 

Posibles problemas

Existen dos tipos de problemas para este tema: 

  \(1)\) Problemas donde nos pregunten si la función es continua en cierto punto: 

Estos son los problemas sencillos, porque simplemente tenemos que evaluar los límites laterales del punto en cuestión, eso es todo. Suponiendo que nos piden el punto \(x=a\), tendremos:

\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=f(a)\]

Y si son iguales, entonces la función es contínua en ese punto. 

  \(2)\) Problemas donde nos pregunten si la función es continua en todo su dominio:

En este caso, para que una función sea continua en todo su dominio tenemos que garantizar que la función es continua tanto en \(x<0, x>0\) como en \(x=0\). Para estos casos hay que hacer un gráfico de la función y ver si hay puntos “extraños”, como vimos en el ejemplo anterior. 

Entonces, solo tenemos que estudiar si los puntos son continuos o no. Si lo son, la función también lo será en todo su dominio. De lo contrario, podemos afirmar que la función no es continua en todo su dominio.

Existen funciones que siempre son continuas en sus dominios, es decir, no necesitarás hacer un análisis para esos casos. Dichas funciones son:

   \(1)\) Polinomios, para todo \(\mathbb{R}\).

   \(2)\) Funciones radicales, para \(x \geq 0\) en raíces pares (\(\sqrt[2]{x}, \sqrt[4]{x} \ldots\)) y todo \(\mathbb{R}\) para las impares.

   \(3)\) Funciones seno y coseno para todo \(\mathbb{R}\).

   \(4)\) Funciones trigonométricas inversas, como arcsen, arctg, etc… para todo \(\mathbb{R}\).

   \(4)\) Funciones trigonométricas inversas, como arcsen, arctg, etc. para todo \(\mathbb{R}\).

   \(5)\) Funciones exponenciales, para todo \(\mathbb{R}\).

   \(6)\) Funciones logarítmicas, para toda \(x>0\).

   \(7)\) Funciones racionales, a excepción de los puntos donde el denominador se hace cero.