Cociente de Polinomios con \(x \rightarrow\) Constante

Usemos el siguiente ejemplo:

\[\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x^{2}-5 x+6}=\frac{2^{3}-8}{2^{2}-5(2)+6}=\frac{0}{0}\]

Como es una indeterminación de 0/0 no podemos usar las propiedades que vimos antes, entonces ¿qué hacemos para resolver este límite?

Como pueden ver, el 2 es raíz de ambos polinomios, porque al poner el 2 en ellos nos dieron 0. Entonces, para simplificar las cosas vamos a factorizar/dividir por polinomios. Sí ya sabés esta parte, no es necesario que la estudies!

Factorización de polinomios 

Para factorizar usaremos la fórmula de Bhaskara, más conocida como “La Resolvente”

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, y=a x^{2}+b x+c\]

OBS: un polinomio de segundo grado como este \(a x^{2}+b x+c\), con \(x_{1}\) y \(x_{2}\) siendo raíces, se puede escribir como \(a\left(x-x_{1}\right)\cdot\left(x-x_{2}\right)\). ¡No se olviden el “a” cuando es diferente de 1 porque entonces sería otro polinomio!

Veamos algunos conceptos interesantes para que sepan verlos rápidamente:

\[\left(x^{2}-b^{2}\right)=(x-b)(x+b)\]

\[\left(x^{3}-b^{3}\right)=(x-b)\left(x^{2}+x b+b^{2}\right)\]

\[\left(x^{3}+b^{3}\right)=(x+b)\left(x^{2}-x b+b^{2}\right)\]

\[\left(x^{2} \pm 2 x b+b^{2}\right)=(x \pm b)^{2}\]

Veamos ahora un ejemplo de una indeterminación 0/0 y cómo lo resolveremos:

\[\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2 x^{4}-3 x^{3}-17 x-30}{x-3}=\frac{2\cdot(3)^{4}-3(3)^{3}-17 \cdot 3-30}{3-3}=0 / 0\]

Para resolver este problema usaremos la regla de Ruffini. Si no la conocen, no hay problema, porque la explicaremos paso a paso:

Paso 1: armamos el cuadro. 

Vamos a escribir en el siguiente cuadro los coeficientes que multiplican al polinomio del lado superior derecho (los números que multiplican a las \(x\)). Luego escribimos la raíz del polinomio del lado superior izquierdo (el número que hace que la función valga cero. En este caso será 3). Finalmente vamos a bajar al primer coeficiente al lado inferior derecho. Para que vean como les tiene que quedar:

\[^{3} | \begin{array}{ccc}{2} & {-3} & {0} & {-17-30} \\ \hline 2 & {} & {}\end{array}\]

OBS: fíjense que escribimos el 0 en el espacio donde debería estar el coeficiente que multiplica al \(x^{2}\). Esto lo vamos a hacer siempre que algún coeficiente sea 0. Se pondrá de todos modos.

Paso 2: multiplica y suma

Una vez que ya tenemos el cuadro en forma, es hora de multiplicar y sumar. Primero, el primer coeficiente se multiplica con la raíz, y al valor que nos de le sumamos el segundo coeficiente (si es negativo, como en este caso, se hace 2*3+(-3)=3). 

\[3|\begin{array}{ccc}{2} & {-3} & {0} & {-17-30} \\ \hline 2 & {3} & {}\end{array}\]

Paso 3: repite

\[3|\begin{array}{ccc}{2} & {-3} & {0} & {-17} &{-30} \\ \hline 2 & {3} & {9} & {10} & {0}\end{array}\]

Es importante que el último valor sea 0

Paso 4: reescribir

Ahora tenemos la división del primer polinomio por su raíz. Podemos reescribir el polinomio como la multiplicación entre esa raíz y el resultado que nos dio. Para reescribir al resultado de la división como un polinomio solo hay que escribir una x de un grado menor que el polinomio principal y seguir bajando el grado de la x hasta el término independiente, que será el último coeficiente.

Veamos cómo nos queda la función:

\[\lim_{x\rightarrow3}\frac{2x^{4}-3x^{3}-17x-30}{x-3}=\frac{(x-3)*(2x^{3}+3x^{2}+9x+10)}{x-3}\]

Entonces, como se están multiplicando los polinomios del numerador, podemos tachar el \(x-3\) del numerador con el del numerador, y nos queda:

\[\lim_{x\rightarrow3}2x^{3}+3x^{2}+9x+10\]

Finalmente, resolvamos el límite:

\[\begin{array}{l}{\lim_{x\rightarrow3}\frac{2x^{4}-3x^{3}-17x-30}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\left(2x^{3}+3x^{2}+9x+10\right)=2(3)^{3}+3(3)^{2}} {+9(3)+10=118}\end{array}\]

Caso con módulo

¿Qué pasa si nos encontramos con un caso donde hay un módulo? Bueno, veamos qué hay qué hacer!

\[\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-7 x+12}{|x-3|}\]

Sustituyendo el 3 en ambas partes vamos a llegar a una indeterminación del tipo 0/0. Si usamos la resolvente para factorizar, nos queda lo siguiente:

\[\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-7 x+12}{|x-3|}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x-4)}{|x-3|}\]

Acá es donde se pueden preguntar ¿Qué es un módulo? Bueno, vamos a definirlo:

\[|x-3|=\left\{\begin{array}{cc}{-(x-3),} & {x<3} \\ {(x-3),} & {x \geq 3}\end{array}\right.\]

Entonces, vemos que dependiendo de qué lado estemos del 3, tenemos dos funciones. Si pensaste en hacer límites laterales, estás entendiendo como viene la mano con los límites!

Para valores mayores a 3 será:

\[\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)}=\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(x-4)=(3-4)=-1\]

Y para valores menores que 3:

\[\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{(x-3)(x-4)}{-(x-3)}=\lim _{x \rightarrow 3^{-}}-(x-4)=-(3-4)=1\]

Finalmente, vemos que los límites laterales no son iguales, por lo tanto, el límite de esa función no existe!

Y ahora que ya saben, a resolver ejercicios!