Extensión Continua

Ya debes haberte encontrado con problemas en los que tenemos un límite donde el denominador tiene una indeterminación del tipo \(0/0\), pero aún así el valor del límite converge. Por ejemplo:

\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{2}-1\right)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\]

\[=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=(1+1)=2\]

\[\text {Sin embargo, } x=1 \text { no forma parte del dominio de } f(x)=\frac{\left(x^{2}-1\right)}{x-1}\]

En este caso, vemos que \(f(x)\) es continua dentro de su dominio, pero en \(x=1\) la función no existe. De tal forma surge la extensión continua. El límite para \(x \rightarrow 1\) es \(2\), por tanto, vamos a decir que el valor de la función es \(2\) en ese punto, y sí misma en el resto, es decir: 

\[f(x)=\left\{\begin{array}{c}2, x=1 \\ \frac{\left(x^{2}-1\right)}{x-1}, x \neq 1\end{array}\right.\]

Este tipo de singularidad, como la del ejemplo, es llamada discontinuidad evitable. 

Importante: si el límite en dicho punto fuera a \(\pm \infty\)  no podríamos hacer la extensión continua de la función.  

¡Eso es todo, no olvides practicar!