Indeterminación Infinito-Infinito

Muy bien, ya vimos qué pasaba cuando teníamos problemas con polinomios donde el numerador y el denominador tendían a cero, y  problemas con conjugados. Ahora, ¿qué pasa cuando tenemos un problema de la siguiente forma?

\[ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^{2}-5 x+4}\]

Cuando sustituimos el 4, llegamos al siguiente caso de \(\infty-\infty\):

\[\lim _{x \rightarrow 4} \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^{2}-5 x+4}=\frac{1}{4-4}-\frac{1}{16-5(4)+4}\]

\[=\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=( \pm \infty)-( \pm \infty)\]

El \(\pm\) es debido a que si aproximamos con límites laterales (es decir, por izquierda y por derecha) los límites darán con su respectivo signo (negativo o positivo)

En definitiva, sólo podemos operar con los infinitos si ambos tienen el mismo signo. Si uno difiere, ahí nos encontramos en este problema!

Pero, ¿cómo lo vamos a solucionar? Bueno, simplemente factorizaremos a los polinomios y veremos de hacer que el denominador de los dos sea igual. Parece complicado, no? Les aseguro que es muy simple! Miren cómo resolvemos el ejemplo:

Primero factorizaremos:

\[\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^{2}-5 x+4}=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{(x-4)(x-1)}\]

Luego haremos que los denominadores sean iguales. Para eso multiplicaremos al primer término por \((x-1)\) arriba y abajo:

\[\frac{(x-1)}{(x-4)(x-1)}-\frac{1}{(x-4)(x-1)}=\frac{(x-1)-1}{(x-4)(x-1)}\]

\[=\frac{(x-2)}{(x-4)(x-1)}\]

Finalmente aplicaremos el límite a lo que nos quedó:

\[\lim _{x \rightarrow 4} \frac{(x-2)}{(x-4)(x-1)}=\left(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{1}{(x-4)}\right)\left(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{(x-2)}{(x-1)}\right)\]

\[=\left(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{1}{(x-4)}\right)\left(\frac{4-2}{4-1}\right)=\frac{2}{3}\left(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{1}{(x-4)}\right)\]

Y como ya se habrán dado cuenta, hay que aplicar límites laterales, por lo tanto:

\[ \lim _{x \rightarrow 4^{+}} \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^{2}-5 x+4}=+\infty \]

\[\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^{2}-5 x+4}=-\infty\]

Seguramente ya sepan contestar la siguiente pregunta: ¿existe el límite? Si su respuesta fue NO, van entendiendo bien cómo va la cuestión!

Para ser honestos, generalmente en estos ejercicios donde el numerador es 1 y el denominador es un polinomio, el límite no existe. Pero siempre hay que saber resolverlos y demostrarlo con las cuentas!

Y ahora ya saben, a hacer ejercicios!