Límites Laterales y Existencia del Límite

Límites Laterales

Imagina:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x<0 \\ e^{x}, & x \geq 0\end{array}\right.\]

Mira lo que ocurre con la función cerca del punto \(x=0\):

Si intentas aproximar \(x\) a cero, tendrás un problemita. Como puedes ver, la función tiene tendencias diferentes en dicho punto. Por la izquierda, es \(x^{2}\). Por la derecha, \(e^{x}\). Y ahí surge una pregunta: ¿por dónde queremos aproximar? ¿Por la izquierda o por la derecha?

Y así surgen los límites laterales. Si aproximamos \(x\) de un número \(a\) por valores mayores que \(a\), es decir, por la derecha, estamos tendiendo a \(a^{+}\). Entonces usamos la notación “\(+\)”.

\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{x}=e^{0}=1\]

De la misma forma, si aproximamos \(x\) de un número \(a\) por valores menores que \(a\), es decir, por la izquierda, estamos tendiendo a \(a^{-}\). Usamos la notación “\(-\)”.

\[\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^{2}=0^{2}=0\]

Volviendo al gráfico, puedes notar que la tendencia del límite cuando vemos a la derecha es ir a \(1\). La tendencia a la izquierda será ir a \(0\).

Existencia del Límite

En el ejemplo anterior vimos que los límites laterales no coinciden:

\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{x}=e^{0}=1\]

\[\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^{2}=0^{2}=0\]

Pero si los límites laterales son diferentes, como en el ejemplo anterior, ¿qué ocurre con el límite en cuestión?

\[\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\bigg(? ? ?\bigg)\]

En ese caso, el límite no existe. ¿Y por qué?

Existen dos reglas que el límite debe seguir para existir:

\(1.\) Límites laterales no pueden ir a \(\pm \infty\).

\(2.\) Límites laterales deben tener el mismo valor.

Solo cuando los límites siguen estas dos condiciones, podemos afirmar que existen. 

En el ejemplo inicial, los límites laterales no van a \(\pm \infty\), respetando la primera condición. Sin embargo, no convergen en el mismo valor:

\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1\]

\[\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=0\]

Por tanto, el límite no existe. En general, un límite existe si:

\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} g(x)\]

\[\lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq \pm \infty\]

¡Vamos a los ejercicios!