Conjugado

Usando productos notables

Para estos casos hay que tener un ojo más fino y paciencia para entender cómo resolverlos. Veamos el siguiente caso:

\[\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{\sqrt{4}-2}{4-4}=\frac{0}{0}\]

Es una indeterminación del tipo 0/0, pero como se habrán dado cuenta, no la podemos factorizar. Esto pasa porque tenemos una raíz cuadrada en medio.

Explicaremos primero qué es el conjugado con un ejemplo muy simple:

\[(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4\]

Es decir, si tenemos \(\sqrt{x}-2\), el conjugado será \(\sqrt{x}+2\). Sólo le cambiamos el signo al término independiente. 

El procedimiento, de todos modos, es bastante simple. Multiplicaremos a cada parte por el conjugado de la raíz: 

\[\begin{array}{c}{\lim_{x\rightarrow4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}\right)=\lim_{x\rightarrow4}\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=} \\ {\lim _{x\rightarrow4}\frac{(x-4)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}}\end{array}\]

Se ve a simple vista que podemos simplificar para que quede lo siguiente:

\[\lim _{x \rightarrow 4} \frac{1}{(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{4}\]

Siempre que vean raíces pueden pensar en usar este método. 

Indicadores de qué relación usar

La cuestión ahora es definir cuál producto notable será usado. El consejo es el siguiente:

• Cuando hay alguna diferencia o suma en que alguno de los términos (o todos) es una raíz cuadrada en una indeterminación de 0/0 o \(\infty-\infty\), usen:

\[(a-b)(a+b)=\left(a^{2}-b^{2}\right)\]

• Cuando hay alguna diferencia o suma en que alguno de los términos (o todos) es una raíz cúbica en una indeterminación de 0/0 o \(\infty-\infty\), usen: 

\[(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=\left(a^{3}-b^{3}\right)\]

\[(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=\left(a^{3}+b^{3}\right)\]

Ahora, como ya saben, a resolver ejercicios!