Límites Fundamentales Trigonométricos

Vamos a presentarles un nuevo problema:

\[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(x)}{x} \]

Parece un concepto nuevo, no? Bueno, en realidad no tanto. De cierta manera, ya casi que lo vimos! Recordemos un poco el límite fundamental trigonométrico, ya que lo vamos a utilizar:

\[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 \]

CUIDADO: no se confundan este límite con el que vimos en TEOREMA DEL EMPAREDADO. Este tiende a cero, el otro tendía a infinito.

En los siguientes problemas que verán, tendrán que usar el límite fundamental trigonométrico, pero tendrán que jugar un poco con la ecuación.

Veamos qué es esto de “jugar un poco”. 

En el ejemplo tenemos que:

\[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(x)}{x} \]

Y sabemos que podemos definir a la tangente como:

\[\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}\]

Entonces, sustituyendo en la ecuación:

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x(\cos (x))}=\left(\lim _{x \rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x)}\right)\]

Como pueden ver, apareció el límite fundamental trigonométrico. Y este problema ya lo saben calcular! Pero, para que no tengan dudas, lo vamos a dejar resuelto:

\[\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x)}\right)=(1)\left(\frac{1}{\cos (0)}\right)=1\]

Límites fundamentales y propiedades trigonométricas

El primer ejemplo que les presentamos fue bastante sencillo. No siempre se van a encontrar con un ejemplo como ese. Vamos a dejarles una lista con otras propiedades trigonométricas que les van a ser útiles:

\[\operatorname{sen}^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\]

\[1+\operatorname{tg}^{2} \theta=\sec ^{2} \theta\]

\[1+\operatorname{cotg}^{2} \theta=\operatorname{cossec}^{2} \theta\]

\[\operatorname{sen}(x \pm y)=\operatorname{sen} x \cdot \cos y \pm \operatorname{sen} y \cdot \cos x\]

\[\cos (x \pm y)=\cos x \cdot \cos y \mp \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y\]

\[\operatorname{sen}(2 x)=2 \operatorname{sen} x \cdot \cos x\]

\[\cos (2 x)=\cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \operatorname{sen}^{2} x\]

\[\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}\]

\[\operatorname{sen}^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}\]

Además, podemos llegar a necesitar multiplicar por el conjugado para poder usar estas propiedades:

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x} \frac{(1+\cos (x))}{(1+\cos (x))}\]

\[=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2}(x)}{x(1+\cos (x))}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x(1+\cos (x))}\]

Separamos al sen(x) con el x y finalmente nos queda:

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x(1+\cos (x))}=\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right)\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{1+\cos (x)}\right)=(1)\left(\frac{0}{1+1}\right)=0\]

Muy bien, ya saben lo que sigue! Ejercicios!

Límite con sustitución

Vamos a seguir trabajando con el límite fundamental trigonométrico, pero con una pequeña variación que parece inofensiva, pero hay que tener cuidado cuando nos encontramos con ella.

Hasta ahora, los problemas se presentaron de la siguiente manera:

\[\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1\]

¿Qué haríamos si nos encontramos con el siguiente caso?

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{x}\]

Como no es el caso original, no podemos aplicar el límite fundamental trigonométrico directamente, por lo que haremos una sustitución. Diremos \(u=3 x\), y como estamos cambiando la variable \(x\) a \(u\), el \(x\) del denominador también se modificará por \(\frac{u}{3}\). Lo mismo pasará con el límite, entonces si \(x \rightarrow 0\):

\[u=3 x ; x \rightarrow 0\]

\[u \rightarrow 3(0)=0\]

Como pueden observar, la \(u\) tenderá a 0, como la \(x\). Entonces, reemplazando lo que dijimos antes, nos queda:

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{x}=\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(u)}{\left(\frac{u}{3}\right)}\]

\[=\lim _{u \rightarrow 0} 3 \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=3 \lim _{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\]

Finalmente, resolvemos el límite usando el límite fundamental trigonométrico:

\[3 \lim _{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=3(1)=3\]

Entonces, en esencia, hay que llevar cualquier problema trigonométrico que nos presenten a un problema del tipo que sabemos resolver, es decir, a un problema de límite fundamental trigonométrico. 

¡Para poder saber qué propiedad usar rápidamente sólo hay una cosa por hacer: ejercicios!