Teorema del Valor Intermedio

Para raíces de una función

Veamos el siguiente gráfico

Si intentamos conectar ambos puntos con una línea (no necesariamente recta) vamos a notar rápidamente que es imposible hacerlo sin pasar por el eje \(x\).

El Teorema del Valor Intermedio nos dice que si tenemos una función que, en cierto intervalo, tiene un valor de \(y\) positivo (con un determinado \(x\)), y un valor de \(y\) negativo (con otro \(x\)), entonces necesariamente pasa por el eje \(x\). Bastante intuitivo, ¿no? Bueno, además, el valor que toma \(x\) al pasar por ese eje será una raíz.

Veamos qué pasa con la función \(f(x)=x^{2}-4\) en el intervalo \([0,2]\) (fíjense que ese intervalo son valores de \(x\))

Como puedes ver, hay una raíz entre \(0\) y \(2\), cuyo valor, al calcular las raíces de la función, será \(1\).

Caso general

De manera general, podemos usar el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que si nuestra función pasa por un punto mayor a \(N\) y por otro menor a \(N\), entonces necesariamente deberá pasar por el punto \(N\) (donde estos valores de \(N\) y \(n\) son valores de \(y\)).

Se define de este modo:

Suponiendo que \(f\) sea continua en un intervalo cerrado \([a, b]\) y sea \(N\) un número cualquiera entre \(f(a)\) y \(f(b)\), en el que \(f(a) \neq f(b)\). Entonces existe un número \(c\) en \((a, b)\) tal que \(f(c)=N\).

Para raíces de una ecuación

Supongamos que tenemos el siguiente problema:

\[\ln (x)=x^{2}\]

Parece un poco complicado, ¿no? Bueno, no es para tenerle tanto miedo. Lo que nos piden es que demostremos que en cierto intervalo existe una raíz. Veamos qué podemos hacer:

Pasamos \(x^{2}\) hacia la izquierda, y tendremos la siguiente función:

\[\ln (x)=x^{2} \rightarrow\left(\ln (x)-x^{2}\right)=0\] 

Llamando \(f(x)\) a la función auxiliar \(\left(\ln (x)-x^{2}\right)\), podemos usar el TVI para verificar la existencia de sus raíces. Es lo mismo que buscar puntos donde las funciones son iguales.

Para eso, basta con buscar un valor de \(f(x)\) que dé negativo, y uno que dé positivo. Es decir, si \(f(a)\) da un valor negativo, y \(f(b)\) da un valor positivo, entonces, por el Teorema del Valor Intermedio podemos asegurar que existe una raíz entre \([a, b]\).