Asíntota Horizontal y Vertical

Asíntotas Verticales

Para entenderlas, lo mejor es verlas:

Este es el gráfico de la función  \(f(x)=\left (\frac{1}{x-1}\right)\). ¿Qué pasaría si tomamos el valor de \(x=1\)? Bueno, como pueden ver, nos quedaría 1/0, cosa que sabemos que no puede pasar! Bueno, en esencia, la asíntota vertical es un valor que la función no puede tomar. Es el valor que no pertenece al dominio.

Si calculamos los límites laterales:

\[\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1}=-\infty\]

\[\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{x-1}=\infty\]

Esto es respuesta suficiente para demostrar que la función tiene una asíntota vertical en \(x=1\).

Entonces, para dejarlo de forma general: si calculando los límites laterales en un valor de \(x\) distinto de infinito (es decir, un número) y estos nos dan uno \(-\infty\) y el otro \(+\infty\), entonces podemos asegurar que hay una asíntota vertical en ese punto. Cuidado que también puede ser que sólo un lado se vaya para algún infinito, y ahí también tendremos una asíntota!

Asíntotas Horizontales

De vuelta, veamos un ejemplo gráfico con su función:

Calcularemos los límites laterales para \(\pm \infty\) para la función del gráfico:

\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7}{x^{2}+2}+1=1\]

\[\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{7}{x^{2}+2}+1=1\]

Como pueden ver, los límites para más y menos infinito nos dan ambos el mismo valor de 1. Esto significa que existe la asíntota horizontal, y su valor es \(1\).

Con el gráfico se hace más fácil la idea. Cuando nos vamos para los costados, nos vamos acercando al valor de \(y=1\) (la línea verde) pero nunca lo pasamos!

Entonces, de manera general, para encontrar la asíntota horizontal calcularemos el límite de la función con \(x\) tendiendo a más infinito y con \(x\) tendiendo a menos infinito. Si ambos nos dan el mismo número entonces podemos afirmar la existencia de la asíntota horizontal, y es ese valor.

No es necesario que los dos límites den iguales a una constante, solo es necesario que uno de ellos dé. En el caso donde los dos límites den números diferentes, tendremos dos asíntotas, una en cada valor.

Consejo: cuando tengamos una función homográfica, seguramente tengamos que calcular asíntotas horizontales y verticales.

¿Entendiste? ¡Vamos a los ejercicios!