Oscilador Armónico Cuántico

Imagina un sistema masa-resorte: colocamos una pelotita en la punta del resorte, y lo dejamos oscilar. 

Aplicaremos los métodos de la mecánica cuántica a esa partícula unida a un oscilador armónico:

Este problema es relativamente importante en química porque si en lugar de poner una pared, pusiera otra bolita, tendría una molécula diatómica.

Recordando que la ecuación de Schrödinger es dada por:

\(-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+U(x) \psi(x)=E \psi(x)\)

Oscilador Armónico

La energía potencial de una partícula de masa \(m\), sujeta a un resorte de constante elástica \(k\), es dada por:

\(U(x)=\frac{1}{2} k x^{2}=\frac{1}{2} \omega_{0}^{2} m x^{2}\)

Donde:

\(\omega_{0}=\sqrt{k / m}\)

Gráficamente:

Sustituyendo la función de energía potencial en la ecuación de Schrödinger tenemos:

\(-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+\frac{1}{2} \omega_{0}^{2} m x^{2} \psi(x)=E \psi(x)\)

Esa ecuación no es fácil de resolver debido al \(x^{2}\). Sus estados serán cuantizados, siendo el estado fundamental dado por:

\(\psi_{0}(x)=C e^{\sqrt{m k} \bullet x^{2} / 2 \hbar}\)

Y los otros estados serán \(\psi_{0}\) multiplicados por un término conocido en el mundo de la mecánica cuántica (llamado Polinomios de Hermite).

La energía del estado fundamental será:

\(E_{0}=\frac{1}{2} \hbar \omega_{0}\)

\(\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

Esta energía se llama “energía de punto cero”. La energía de la partícula nunca es igual a cero: su menor energía será \(E_{0}\).

La energía de un estado cualquiera será:

\(E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_{0}\)

\(n=0,1,2, \dots\)