Partícula en una Caja - 2D y 3D

La caja 2D y 3D

Podemos atrapar un electrón en un plano o literalmente en una caja rectangular.

La caja bidimensional también es llamada "corral cuántico".

En estos casos, la función de onda no dependerá sólo de \(x\), sino también de \(y\) y \(z\).

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo bidimensional y tridimensional dentro de la caja será:

\(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2} \psi(x, y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi(x, y)}{\partial y^{2}}\right)=E \psi(x, y)\)

\(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2} \psi(x, y, z)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi(x, y, z)}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi(x, y, z)}{\partial z^{2}}\right)=E \psi(x, y, z)\)

Veamos las soluciones para \(x\), \(y\) y \(z\):

\(\psi(x, y, z)=X(x) Y(y) Z(z)\)

Esto hará que tengamos un problema equivalente al de la caja unidimensional en cada eje.

Las funciones de onda serán:

\(X(x)=\sqrt{\frac{2}{L_{x}}} \operatorname{sen}\left(\frac{n_{x} \pi x}{L_{x}}\right) ; Y(y)=\sqrt{\frac{2}{L_{y}}} \operatorname{sen}\left(\frac{n_{y} \pi y}{L_{y}}\right) ; \quad Z(z)=\sqrt{\frac{2}{L_{z}}} \operatorname{sen}\left(\frac{n_{z} \pi z}{L_{z}}\right)\)

\(2 D \rightarrow \psi(x, y)=\sqrt{\frac{2}{L_{x}} \bullet \frac{2}{L_{y}}} \operatorname{sen}\left(\frac{n_{x} \pi x}{L_{x}}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n_{y} \pi y}{L_{y}}\right)\)

\(3 D \rightarrow \psi(x, y, z)=\sqrt{\frac{2}{L_{x}} \bullet \frac{2}{L_{y}} \cdot \frac{2}{L_{z}}} \operatorname{sen}\left(\frac{n_{x} \pi x}{L_{x}}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n_{y} \pi y}{L_{y}}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n_{z} \pi z}{L_{z}}\right)\)

Las energías serán:

\(E_{x}=n_{x}^{2} \cdot \frac{h^{2}}{8 m L_{x}^{2}} ; \quad E_{y}=n_{y}^{2} \bullet \frac{h^{2}}{8 m L_{y}^{2}} ; \quad E_{z}=n_{z}^{2} \cdot \frac{h^{2}}{8 m L_{z}^{2}}\)

\(2 D \rightarrow E_{x, y}=E_{x}+E_{y}=\frac{h^{2}}{8 m}\left(\frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}\right)\)

\(3 D \rightarrow E_{x, y, z}=E_{x}+E_{y}+E_{z}=\frac{h^{2}}{8 m}\left(\frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}+\frac{n_{z}^{2}}{L_{z}^{2}}\right)\)

Y en ambos casos:

\(n_{x}=1,2, \dots\)

\(n_{y}=1,2, \dots\)

\(n_{z}=1,2, \dots\)

Para este problema aparece un nuevo fenómeno llamado "degeneración":

Imagina que la caja tridimensional es un cubo: \(L_{x}=L_{y}=L_{z}=L\). La energía será:

\(E=\frac{h^{2}}{8 m L^{2}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\)

Los estados \(\left(n_{x}, n_{y}, n_{z}\right)=(1,1,2) ;(1,2,1) ;(2,1,1)\) tendrán la misma energía.

Esto puede ocurrir de diferentes maneras y en diferentes casos. No es necesario que las dimensiones del corral o de la caja sean iguales. Siempre que va veas transiciones entre estados energéticos, ten cuidado.

Dos transiciones completamente diferentes pueden tener la misma diferencia de energía. 

Por eso es importante tener cuidado a la hora de resolver problemas de más de una dimensión: cada energía puede corresponder a varias combinaciones de los números cuánticos involucrados.

Otra forma de ampliar este problema sería pensar en varias partículas en una caja tridimensional. En tal caso, tendríamos echarle un vistazo a la ley de los gases ideales.