Barrera de Potencial y Efecto Túnel

Imagina la siguiente situación.

Un carrito de juguete es empujado, por acción del impulso sube una colina. Subirá hasta cierto punto, y luego descenderá al punto de inicio. 

Lo que pasa es que a medida que va subiendo, su energía cinética va convirtiéndose en energía potencial gravitatoria. El punto en el que se detiene es el punto en el que toda la energía cinética que tenía se volvió potencial. No consigue llegar a la cima.

Si en lugar de una colina fuera una pared, no subiría nada. Golpearía la pared, y se iría hacia atrás. 

En cuántica, cuando lanzamos una partícula a una colina, ocurre algo inesperado: la partícula tiene una probabilidad de entrar en la barrera de potencial y aparecer del otro lado.

Barrera de Potencial 

Llamamos barrera de potencial cuando el gráfico de \(U(x)\) tiene una subida o bajada que, se asemeja a un escalón en el camino de la partícula. 

Cuando solo existe un escalón y luego decrece, es decir, \(U(x)\) vuelve al estado inicial, la partícula se encuentra con una barrera, por eso es llamada “barrera de potencial”. 

Veamos un problema: una partícula que va hacia una barrera de potencial.

Considerando que la energía de la partícula es menor que la barrera de potencial: \(E<U_{0}\). 

De los lados de la barrera, el potencial es cero y la ecuación de Schrödinger queda:

\(\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}=-k^{2} \psi(x)\)

Donde:

\(k^{2}=\frac{2 m E}{\hbar^{2}}\)

Cuya solución, a causa del signo negativo, es una combinación de senos y cosenos:

\(\psi_{F}(x)=A \operatorname{sen} k x+B \cos k x\)

Dentro de la barrera, tenemos \(U=U_{\mathrm{C}}\), y por eso la ecuación de Schrödinger queda:

\(\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}=\alpha^{2} \psi(x)\)

Donde:

\(\alpha^{2}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(U_{0}-E\right)\)

Debido al signo positivo, la solución será una combinación de exponenciales:

\(\psi_{B}(x)=C e^{\alpha x}+D e^{-\alpha x}\)

Ahora es cuando surge lo extraño:

Dentro de la barrera, la función será una exponencial decreciente y no necesariamente cero. Eso hará que, dependiendo del ancho de la barrera, \(\psi_{B}(L)\), sea mayor a cero para que cambie el seno y coseno en la parte exterior.

Y es por eso que cuando varias partículas golpeen la barrera, algunas consiguen atravesar.

Este fenómeno lleva por nombre “efecto túnel”, es por eso que decimos que cuando una partícula atraviesa la barrera, esta la “tunela”.

La función de onda nos dice la probabilidad de encontrar una partícula en determinados sitios, más no la posibilidad de que la partícula atraviese la barrera.

Por eso decimos que la partícula tiene cierta probabilidad de “tunelar” la barrera. De hecho, es posible calcular esa probabilidad.

Esa probabilidad será:

\(T=G e^{-2 \alpha L}\)

Donde \(L\) es el ancho de la barrera y (así como antes)

\(\alpha=\frac{\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar}\)

También podemos escribir:

\(\alpha=\frac{\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}}{h / 2 \pi}=\sqrt{\frac{8 \pi^{2} m\left(U_{0}-E\right)}{h^{2}}}\)

Da igual la fórmula que utilices, ambas te llevarán al mismo resultado.

De forma general, decimos que \(T\) es del orden de \(e^{-2 \alpha L}\), y aproximamos:

\(T \cong e^{-2 \alpha L}\)

Sin embargo, no usaremos esto todo el tiempo. La magnitud de los valores será correcta, pero el valor exacto no. 

En realidad, \(G\) no está necesariamente cercana a \(1\). Su fórmula será:

\(G=16 \frac{E}{U_{0}}\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)\)

O bien, reordenando:

\(G=\frac{16 E\left(U_{0}-E\right)}{U_{0}^{2}}\)

Muchas veces ignoran a \(G\), fingiendo que no existe y solo calculan \(e^{-2 b L}\).

Así que presta atención a cuál de los dos métodos utiliza tu profesor, para que decidas cual usarás tu. 

Para muchos, lo que más importa es el concepto del efecto túnel, y no su fórmula.