Spin y Principio de Exclusión de Pauli

Para poder describir todos los fenómenos que ocurren en la naturaleza con el átomo de hidrógeno, lo que hemos visto hasta ahora no es suficiente.

Además de los tres números cuánticos \(n, l\) y \(m_{l}\) necesitamos uno más para describir completamente el átomo de hidrógeno: El número cuántico de spin \(m_{s}\).

El espín del electrón

El electrón posee una propiedad llamada espín.

Para decirte exactamente qué es, tendría que decir algo como:

“Es un momento angular intrínseco del electrón”

Pero… eso no diría nada.

Esta propiedad (espín) actúa como si fuera la rotación del electrón alrededor de su propio eje. Es igual a la rotación. Así como la rotación alrededor del núcleo, que es descrita por los números cuánticos \(l\) y \(m_{l}\), esta se describe por dos números cuánticos \(s\) y \(m_{s}\).

El módulo del espín del electrón y su componente a lo largo de un “eje \(z\)” según la misma forma del momento angular:

\(S=\sqrt{s(s+1)} \hbar\)

\(S_{z}=m_{s} \hbar\)

Ya que puedo tener

\(m_{s}=-s,-s+1, \ldots, s-2, s-1, s\)

Sin embargo, para el electrón \(s=1 / 2\) SIEMPRE.

Todas las partículas (electrón, neutrón, protón, fotón, ...) pueden tener el número de espín como una fracción o un número entero, pero ese número no cambia. Todo electrón tiene espín \(s=1 / 2\), en cualquier caso. Así como cualquier fotón tendrá \(s=1\) siempre. 

Por eso, los valores de \(m_{s}\), posibles son:

\(m_{s}=-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\)

Los que llamamos spin up y spin down. Generalmente representados por una flecha hacia arriba y una flecha hacia abajo. 

El número de espín es una propiedad de la partícula que actúa exactamente a una rotación, de manera sencilla "es como si fuera la rotación alrededor de su eje". Sería como si todas las partículas siempre estuvieran dando vueltas.

En realidad, el electrón no pasa todos los días, todo el día, dando vueltas como bailarinas o bailarines en un show.

Esta es una "propiedad" del electrón (de cierta forma como su masa o su carga).  Compararla con giros facilita la explicación, pero el electrón NO está girando alrededor de su propio eje. 

Principio de Exclusión de Pauli

El principio de exclusión de Pauli nos dice que dos electrones diferentes no pueden tener, al mismo tiempo, todos sus números cuánticos iguales.

Si pensamos en el electrón del hidrógeno, eso significa que sólo uno puede ser poseedor del título de \(\left(n, l, m_{l}, m_{s}\right)\). ¿Pero y \(“s” ?\). Bueno, en todos es igual. 

Veamos el caso del aluminio, que \(13\) electrones, para que entiendas lo que quiero decir. Vamos a descartar la interacción entre los electrones, y considerar que todos los niveles son iguales a los del hidrógeno.

Recordando las restricciones:

\(n=1,2,3, \ldots\)

\(l=0,1,2, \ldots, n-2, n-1\)

\(m_{l}=-l,-l+1, \ldots, l-1, l\)

\(m_{s}=+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)

Tenemos que empezar de abajo hacia arriba, para garantizar la menor energía (estado fundamental).

Así que primero puse dos electrones en \(n=1\).

Para \(n=2\), podemos tener tanto \(l=0\) como \(l=1\). En el caso de \(l=0\), como tenemos \(m_{l}=0\), solo podemos colocar dos electrones (spin up y spin down).

Sin embargo, cuando \(l=1\), podemos tener \(m_{l}=-1,0,1\), para cada uno de esos casos, tendremos dos flechas. 

Es como si cada estado fuera una casita de electrones. La casita es dada por un trío de números \(\left(n, l, m_{l}\right)\), y solo caben dos electrones, uno hacia arriba (spin up) y otro hacia abajo (spin down). 

Este principio funciona para más de un átomo. Cada vez que tengamos electrones con un conjunto de números cuánticos, funcionará. Lo único que no cambia es el espín del electrón.

Por ejemplo, en el caso del pozo infinito, los electrones sólo tienen el número cuántico \(n\) (además del espín). Por tanto, para cada \(n\), tengo solo dos electrones.

¡Vayamos a los ejercicios!