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Átomo de Bohr

El espectro atómico del hidrógeno fue explicado por Niels Bohr y su modelo atómico.

 

Para ello, Bohr forzó un poco la barra, y decidió dar como verdad algunas suposiciones que son los Postulados de Bohr.

 

Postulados de Bohr

 

Primer postulado de Bohr: 

 

“El electrón del átomo de hidrógeno sólo puede moverse en ciertas órbitas, no irradiantes, circulares, llamadas estados estacionarios”.

 

Tienen que ser "no irradiantes" porque si el electrón irradiara ondas electromagnéticas, perdería energía y saldría de órbita en una espiral hacia el núcleo.

 

El átomo irradia sólo cuando el electrón hace una transición de un estado estacionario a otro.

 

Segundo postulado de Bohr:

 

La frecuencia de la radiación emitida por el electrón en la transición entre dos órbitas está relacionada con la energía de las órbitas por:

 

\(f=\frac{E_{i}-E_{f}}{h}\)

 

(Frecuencia del fotón emitido)

 

Donde \(h\) es la constante de Planck, recordando que \(h=6,626 \bullet 10^{-34} J s=4,136 \cdot 10^{-15} {eV\space s}\). La energía \(E_{i}\) corresponde a la energía en el estado inicial y \(E_{f}\) corresponde a la energía en el estado final. 

 

Tercer postulado de Bohr:

 

Las órbitas del electrón son tales que el momento angular del electrón en relación al núcleo es un múltiplo entero de \(\hbar=h / 2 \pi\). Eso implica que el radio de las órbitas es cuantizado.

 

\(L=m v r_{n}=\frac{n h}{2 \pi}=n \hbar\)

 

(Momento angular cuántico)

 

Donde \(\hbar=1,05 \times 10^{-34} J s\).

 

El punto importante de este postulado es similar al del primero: órbitas estacionarias.

 

Radio de la órbitas circulares

 

A continuación, vamos a deducir las características del átomo de Bohr. 

 

Imaginemos a un electrón en una órbita circular de radio \(r\) alrededor de una carga positiva \(+Z e\), como el núcleo de hidrógeno (\(Z=1\), es el número de protones en el núcleo del átomo de hidrógeno).

 

 

La fuerza centrípeta que mantiene al electrón en su trayectoria circular es igual a la fuerza de atracción entre las cargas, de esta manera:

 

\(\frac{m v^{2}}{r}=-\frac{k q_{1} q_{2}}{r^{2}}=-\frac{k(Z e)(-e)}{r^{2}}\)

 

\(\frac{m v^{2}}{r}=\frac{k Z e^{2}}{r^{2}}\)

 

\(v^{2}=\frac{k Z e^{2}}{m r_{n}}\)

 

De la cuantización del momento angular:

 

\(L=m v r_{n}=\frac{n h}{2 \pi}=n \hbar\)

 

\(v=\frac{n \hbar}{m r_{n}}\)

 

\(v^{2}=\frac{n^{2} \hbar^{2}}{m^{2} r_{n}^{2}}\)

 

Igualando los dos podemos hallar los radios de las órbitas del electrón.

 

\(\frac{k Z e^{2}}{m r_{n}}=\frac{n^{2} \hbar^{2}}{m^{2} r_{n}^{2}}\)

 

\(r_{n}=n^{2} \frac{\hbar^{2}}{m k Z e^{2}}=n^{2} \frac{a_{0}}{Z}\)

 

Donde \(a_{0}=\hbar^{2} / m k e^{2}\) es el menor radio posible para la órbita del electrón del hidrógeno. Recordando que en el hidrógeno, \(Z=1\).

 

Radio de las órbitas de Bohr

 

\(r_{n}=n^{2} a_{0}\)

 

Sabiendo que \(a_{0}=5,29 \cdot 10^{-11} \mathrm{m}\) es el radio de Bohr. 

 

\(a_{0}=\frac{\hbar^{2}}{m k e^{2}} \cong 0,0529 \mathrm{nm}\)

 

Energía de las Órbitas

 

La energía total del electrón es igual a la suma de la energía potencial con la energía cinética 

 

\(E=K+U\)

 

La energía potencial es dada por:

 

\(U=\frac{k q_{1} q_{2}}{r}=-\frac{k Z e^{2}}{r}\)

 

La energía cinética es dada por:

 

\(K=\frac{1}{2} m v^{2}\)

 

Por tanto:

 

\(E=\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{k Z e^{2}}{r}\)

 

Sustituyendo ese resultado en la expresión de la energía, tenemos:

 

\(E=\frac{1}{2} \frac{k Z e^{2}}{r}-\frac{k Z e^{2}}{r}\)

 

Finalmente:

 

\(E=-\frac{1}{2} \frac{k Z e^{2}}{r}\)

 

Podemos sustituir \({r}\) por los radios de la órbitas, y tendremos:

 

\(E_{n}=-\frac{1}{2} \frac{k Z^{2} e^{2}}{n^{2} a_{0}}=-\frac{1}{2} \frac{m k^{2} Z^{2} e^{4}}{n^{2} \hbar^{2}}\)

 

O:

 

Niveles de energía para el átomo de hidrógeno

 

\(E_{n}=-Z^{2} \frac{E_{0}}{n^{2}} \stackrel{Z=1}{\rightarrow} E_{n}=-\frac{E_{0}}{n^{2}}\)

 

Donde:

 

\(E_{0}=\frac{1}{2} \frac{m k^{2} e^{4}}{\hbar^{2}}=13,6 \mathrm{eV}\)

 

\(E_{0}\) corresponde al estado de energía más bajo, también llamado estado fundamental.

 

Para otros átomos con un solo electrón con diferentes \(Z\) (llamados átomos hidrogenoides) 

 

\(E_{n}=-Z^{2} \frac{E_{0}}{n^{2}}\)

 

Fotón emitido en la transición electrónica 

 

Si el electrón va de una órbita inicial \(i\) hacia una órbita final \(f\), la energía del fotón asociado es:

 

\(E_{\text {foton}}=\Delta E_{\text {electron}}\)

 

\(h f=E_{\text {electron}_{f}}-E_{\text {electron}_{i}}\)

 

\(h f=-Z^{2} E_{0}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)\)

 

Si \(\Delta E_{\text {eletron}}>0\) quiere decir que tuvimos un fotón absorbido y si \(\Delta E_{\text {eletron}}<0\) tuvimos un fotón emitido. ¡Así que presta atención! La \(\Delta E_{\text {eletron}}\) puede tener signo positivo o negativo, pero al final debes tener \(f\) positiva (solo tomamos el módulo al final)

 

Aislando la frecuencia:

 

\(f=-\frac{Z^{2} E_{0}}{h}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)\)

 

Si usamos \(f=c / \lambda\), tenemos a la fórmula de las series de hidrógeno.

 

\(\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)\)

 

Donde 

 

\(R_{H}=\frac{m k^{2} e^{4}}{4 \pi \hbar^{3} c}=1,097 \bullet 10^{7} m^{-1}\)

 

Es importante entender el desarrollo para entender el concepto del átomo de Bohr. Pero no te preocupes por las sopas de letras en las constantes.

 

Para resolver los ejercicios es importante recordar el radio de las órbitas y la energía de las órbitas del átomo de hidrógeno.

 

Niveles de energía para el átomo de hidrógeno

 

\(E_{n}=-\frac{E_{0}}{n^{2}}\)

 

\(E_{0}=13,6 \mathrm{eV}\)

 

Radio de las órbitas de Bohr

 

\(r_{n}=n^{2} a_{0}\)

 

\(a_{0} \cong 0,0529 \mathrm{nm}\)

 

Momento angular 

 

\(L=n \hbar\)

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