Cálculo de la Transformada de Laplace

Introducción

En esta ocasión aprenderemos a calcular la transformada de Laplace, pues está nos será de gran utilidad al resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, por tanto, es importante estudiar los siguiente conceptos. 

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es la transformación de una función llamada \(f(t)\) en otra función conocida como \(F(s)\). “¡¿QUE?!”

“No, desafortunadamente no es magia”. Para hacer dicha transformación utilizamos la siguiente integral:

\[F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t\]

Es decir, cada vez que queramos la transformada de una función \(f(t)\), tendremos que hacer la integral.

Presta atención: el dominio de la función \(f\) son los valores de \(t\), mientras que el dominio de \(F\) son los valores de \(s\). Entonces, si al hacer la integral te quedas con \(t\), vuelve a hacerla porque tiene algún error. 

“¿Cómo se calcula la transformada de Laplace?”

Vamos a calcular una transformada de Laplace. Imagina que tenemos la función \(f(t)=1\).

Tenemos:

\[L[1](s)=\mathscr{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{-s t} d t\]

Donde puedes usar tanto la notación con \(L\) como la notación con \(\mathscr{L}\) cursiva. Nosotros usaremos la cursiva, pues es la más común en estos casos, sin embargo, de vez en cuando puedes utilizar la otra.

De vuelta al punto, ¿cómo resolvemos esta integral con un infinito en el integral? A este tipo de integrales se les conoce como impropias, si no las recuerdas veamos un breve repaso.

Las integrales impropias son integrales con intervalo ilimitado. Estas son resueltas mediante el siguiente principio:

\[\int_{a}^{\infty} f(t) d t=\lim _{A \rightarrow \infty} \int_{a}^{A} f(t) d t\]

O sea, calculamos la integral con intervalo limitado y tomamos el límite del resultado. Entonces, si ese límite existe (si encontramos un número), la integral converge. De lo contrario, diverge.

Entonces:

\[\int_{0}^{x} e^{-s t} d t=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{x} e^{-s t} d t\]

\[\int_{0}^{x} e^{-s t} d t=\left.\frac{-e^{-s t}}{s}\right|_{0} ^{x}=\frac{1-e^{-s x}}{s}\]

Tomando el límite:

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-e^{-s x}}{s}=\frac{1}{s} \space s>0\]

Por tanto, podemos decir que la transformada de Laplace de \(f(t)\) es igual a \(1/s\):

\[\mathscr{L}\{1\}=\frac{1}{s}\]

Es un poco tedioso tener que calcular todas esas integrales cada vez, pero existen algunas que aparecerán siempre, por tal razón es mejor aprenderlas.

Transformadas que debes conocer 

  \(\bullet\) \(\mathscr{L}\left\{e^{a t}\right\}=\frac{1}{s-a}\)

  \(\bullet\) \(\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\)

  \(\bullet\) \(\mathscr{L}\{\cos (a t)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\)

  \(\bullet\) \(\mathscr{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{n !}{s^{n+1}}\)

La transformada es una integral

Hasta el momento hemos visto cómo calcular la transformada, sin embargo, existe un punto que aún no hemos tocado:

Ya vimos que:

\[\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t\]

El hecho de que la transformada de Laplace sea una integral nos da ventajas increíbles. Observa:

La transformada de Laplace de una constante multiplica una función:

\[\mathscr{L}\{3 \cos (t)\}=\int_{0}^{\infty} 3 \cos t e^{-s t} d t=3 \int_{0}^{\infty} \cos t e^{-s t} d t=3 \mathscr{L}\{\cos (t)\}\]

Es igual a la misma constante multiplicada por la transformada de Laplace de la función.

La transformada de Laplace de una función \(f(t)=e^{t}\) más otra \(g(t)= \cos{t}\)

\[L\left\{e^{t}+\cos (t)\right\}=\int_{0}^{\infty}\left[e^{t}+\cos t\right] e^{-s t} d t=\int_{0}^{\infty} e^{t} e^{-s t} d t+\int_{0}^{\infty} \cos t e^{-s t} d t=\]

\[\mathscr{L}\left\{e^{t}\right\}+\mathscr{L}\{\cos (t)\}\]

Es igual a la suma de las transformadas de las funciones. El mismo procedimiento sirve para las restas. 

Es decir, de una forma general:

\[\mathscr{L}\left\{c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2}\right\}=c_{1} \mathscr{L}\left\{f_{1}\right\}+c_{2} \mathscr{L}\left\{f_{2}\right\}\]

Donde \(c_{1}\) y \(c_{2}\) son constantes.

Estas propiedades son llamadas “propiedades de linealidad” de la transformada de Laplace. Lo importante es nunca olvidar que la transformada es una integral, por tanto, tiene las mismas propiedades de la integral.

Fórmulas importantes

Ya sabemos cómo calcular las transformadas de Laplace. A continuación algunas fórmulas importantes:

\[\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t\]

\[\mathscr{L}\left\{c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2}\right\}=c_{1} \mathscr{L}\left\{f_{1}\right\}+c_{2} \mathscr{L}\left\{f_{2}\right\}\]

\[\mathscr{L}\left\{e^{a t}\right\}=\frac{1}{s-a}\]

\[\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\]

\[\mathscr{L}\{\cos (a t)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\]

\[\mathscr{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{n !}{s^{n+1}}\]

Y eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!