Existencia de la Transformada de Laplace

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén genial! 

La transformada de Laplace es la transformación de una función dada por la siguiente integral:

\[F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t\]

Vamos a hacer la transformada de Laplace de la siguiente función:

\[f(t)= -\frac{2}{t^{2}}\]

Bien, pero antes de intentar resolverla, te diré algo: esa transformada no existe.

Entonces, ahora podrías pensar, “¿la transformada no siempre va a existir?”

En realidad, NO. Si la función concuerda con alguna de las dos condiciones, esta no existirá:

  \(1.\) Si la función \(f(t)\) es de una discontinuidad que no podemos integrar.

  \(2.\) Si la función \(f(t)\) es mayor que el exponencial:

\[f(t) \gg e^{s t}\]

Ten en cuenta que la función posee una discontinuidad en \(t=0\). O sea, \(f(t)\) no posee transformada de Laplace. 

¿Pero cómo podemos saber si una función posee o no transformada de Laplace? Por tal razón vamos a estudiar la existencia de la transformada.

Existencia de la Transformada de Laplace

Hemos visto dos condiciones en las cuales la transformada no existe.

Sin embargo, surge una pregunta: ¿será que toda función discontinua no poseerá transformada de Laplace?

Si, suena como una contradicción. Así que veamos a detalle las dos condiciones que rodean a los problemas de no existencia de la transformada. 

Función seccionalmente continua

Mira el gráfico:

Este representa una función que es contínua en un intervalo, excepto por un número finito de saltos. Es decir, es contínua en partes, pero tiene algunos puntos de discontinuidad.

Entonces, la solución a este problema es: realizar la integración de la función en subintervalos, de tal forma que podamos calcular la transformada de Laplace de dicha función.

Orden exponencial

Pudimos ver que el segundo problema ocurre cuando la función \(f(t)\) es mucho mayor que la exponencial. En este caso, lo que tenemos que hacer es asegurarnos que la función \(f(t)\) no sea mayor que el exponencial, sino menor. Cuando garantizamos esto decimos que es de Orden exponencial.

Por ejemplo, determine si la siguiente función tiene transformada:

\[f(t)=\cos 3 t\]

Matemáticamente, queremos asegurarnos que esto ocurra:

\[|f(t)| \leq C e^{k t}\]

Para algún valor de \(C\) y \(k\) reales y \(t\) en el dominio de la función \(f(t)\).

Entonces, debemos encontrar las constantes \(C\) y \(k\) tales que:

\[|\cos 3 t| \leq C e^{k t}\]

Recuerda que la función coseno es limitada:

\[|\cos{3} t\leq 1|\]

Y sabemos que el exponencial para \(t\) en el intervalo \([0, \infty)\) siempre es mayor que \(1\) (igual a \(1\) si \(t=0\)

\[1\leq e^{t}\]

O sea,... 

\[|\cos 3 t| \leq 1 \leq e^{t} \rightarrow\]

\[|\cos 3 t| \leq e^{t}\]

Entonces, observa que si tomamos \(C=1\) y \(k=1\), por ejemplo, es suficiente para decir que la función coseno es de orden exponencial. Es decir, aseguramos la existencia de dicha transformada. 

En resúmen, las condiciones son conocidas como condiciones de existencia de la transformada de Laplace:

  \(1.\) La función \(f(t)\) debe ser por lo menos seccionalmente continua.

  \(2.\) La misma función debe ser de Orden exponencial.

¡Vamos a practicar!