Transformada de la función exponencial

Introducción

Imagina que queremos calcular la transformada de \(f(t)=t . e^{3 t}\). De entrada podríamos pensar en hacer

\[\mathscr{L}\{t\} \times \mathscr{L}\left\{e^{3 t}\right\}\]

¿Cierto? ¡PUES NO!

Si usamos la definición de la transformada de Laplace:

\[\mathscr{L}\left\{t e^{3 t}\right\}=\int_{0}^{\infty} t e^{3 t} e^{-s t} d t\]

Al resolver la integral:

Obtendremos que

\[\mathscr{L}\left\{t e^{3 t}\right\}=\frac{1}{(s-3)^{2}}\]

Se parece a algo que vimos anteriormente, ¿recuerdas la transformada de \(t\)?

\[\mathscr{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\]

¿Estás viendo que la transformada de \(te^{3t}\) se parece a la transformada de \(t\)? La única diferencia es que apareció \(s-3\) en lugar de solo \(s\). En este caso, decimos que la transformada fue trasladada o desplazada \(3\) unidades. Esto va a ocurrir para cualquier constante \(a\) que esté en el exponencial. Veamos el siguiente teorema:

Teorema del desplazamiento

El teorema nos dice que debemos calcular la transformada de \(f(t)\) (normalmente por la tabla) y después trasladarla en \(a\) unidades. 

Observa que \(e^{+at}\) genera el argumento \((s-a)\), es decir, el signo cambia en relación al exponencial.

Mira este ejemplo:

\[\mathscr{L}\left\{e^{t} \operatorname{sen}(t)\right\}=?\]

\[\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\}=\frac{1}{s^{2}+1}\]

\[\mathscr{L}\left\{e^{t} \operatorname{sen}(t)\right\}=\frac{1}{(s-1)^{2}+1}\]

¿Viste lo que ocurrió? \(s\) fue desplazada \(1\) unidad, que es la constante que multiplica a \(t\) en el exponencial.

Otro ejemplo:

\[\mathscr{L}\left\{e^{2 t} \cos (t)\right\}=?\]

\[\mathscr{L}\{\cos (t)\}=\frac{s}{s^{2}+1}\]

\[\mathscr{L}\left\{e^{2 t} \cos (t)\right\}=\frac{s-2}{(s-2)^{2}+1}\]

Y eso es todo, ¡vamos a practicar!