Representación de funciones mediante la función escalón

Introducción

Imagina calcular la transformada de una función que tiene “saltos” (va de un valor a otro de repente). Para ello, primero necesitamos conocer la función escalón unitario. En esta ocasión aprenderemos a representar diversas funciones que tienen saltos en función del escalón. 

Definición de función escalón

Llamada así por su similitud con los escalones. Cada línea roja en el gráfico representa un escalón.

Es una función, que gráficamente podemos ver, que vale \(0\) hasta un cierto punto \(c\)… Y después del punto la función siempre vale \(1\). Podemos escribirla así:

\[f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { para } \quad t<c \\ 1, & \text { para } \quad t \geq c\end{array}\right.\]

Como no se trata de una función cualquiera sino una función importante, esta posee una notación propia: es denotada por \(u_{c}(t)\), entonces queda así:

\[u_{c}(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { para } \quad t<c \\ 1, & \text { para } \quad t \geq c\end{array}\right.\]

Es importante que entiendas este concepto. Por ejemplo, la función \(u_{2}(t)\) vale \(0\) entre \(-\infty \leq t<2\) y \(1\) en \(2 \leq t< \infty \) . Solamente cambiamos \(c\) por \(2\) en el gráfico:

Ahora tenemos una función así… 

Como puedes observar es identica, solo que el escalón en \(y=2\). Entonces solo multiplicamos \(u_{2}(t)\) por \(2\). Es decir, esa función es:

\[2u_{2}(t)\]

Nota: si así lo prefieres puedes escribir \(u_{c}\) en lugar de \(u_{c}(t)\), pero no olvides que se trata de una función. Esta también puede tener notación \(u(t-c)\)

Escribir funciones usando escalón

Es simple. Podemos usar este concepto para escribir diversas funciones con saltos, que antes solo podían ser escritas con llaves, como la propia definición de función escalón. Veamos:

Ejemplo: escriba la función \(y\) dada por:

\[y=\left\{\begin{array}{l}1 ; 0 \leq t<2 \\ 0 ; 2 \leq t<\infty\end{array}\right.\]

Vamos a graficar dicha función:

¿Y cómo escribirías esa función usando la notación de la ecuación escalón?

Podemos ver la ecuación anterior como la resta de las dos fracciones.

En la primera tendríamos \(y=1\), con el escalón comenzando en \(0\), ¿verdad? Entonces esta podría ser escrita como \(u_{0}(t)\)

Recuerda que la función que queremos escribir es cero a partir de \(t=2\). Entonces la segunda función de la resta será una función escalón que comience en \(t=2\), o sea, podríamos escribir \(u_{2}(t)\) así:

Entonces, vamos a restarlas:

\[u_{0}(t)-u_{2}(t)\]

Después de \(t=2\) todo será cero, porque \(1-1=0\):

Entonces, ya sabemos que esta función es,

\[u_{0}(t)-u_{2}(t)\]

Presta atención: a veces \(u_{0}(t)\) puede ser llamado simplemente \(u(t)\). También lo podemos conseguir de esta forma:

\[y=u(t)-u(t-2)\]

Vamos a complicarlo un poco más. Escriba la función \(y\) dada por:

\[y=\left\{\begin{array}{ll}0 ; & 0 \leq t<1 \\ 2 ; & 1 \leq t<2 \\ 0 ; & t \geq 2\end{array}\right.\]

Vamos a graficar estos datos:

Parece complicado, ¿verdad? Porque esta función aumenta de escalón, pero luego desciende nuevamente. Entonces, piensa en esta resta:

A la izquierda, tenemos \(2u_{1}(t)\), ese \(2\) que multiplica adelante sirve para indicar que el escalón está en \(y=2\). A la derecha, tenemos \(2u_{2}(t)\), observa que aquí también multiplicamos por \(2). Entonces, podemos escribir:

\[y=2\left[u_{1}(t)-u_{2}(t)\right]\]

Resultó ser cierto que:

De cero a \(1\), tendremos: \(0-0=0\)

Del \(1\) al \(2\), tendremos: \(2-0=2\)

Y de \(2\) en adelante, tendremos: \(2-2=0\)

Tip: siempre que tengas que escribir una función en términos de \(u_{c}(t)\), haz el gráfico. Si no consigues ver ni las sumas ni las restas, intenta separarla en dos o más gráficos. 

¡Vamos a los ejercicios!