Transformada de Laplace de la función escalón de Heaviside

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión veremos la Transformada de Laplace de la función escalón. ¿La recuerdas? ¿no? Veamos un repaso:

La función escalón es una función que antes de cierto valor \(c\), vale \(0\), mientras que luego de \(c\) esta da un salto hacia \(1\). ¿Confuso, no? Veamos su gráfico:

Recuerda que la línea roja forma un escalón. Por esta razón es llamada “función escalón”. Esta función es representada de la siguiente forma:

\[u_{c}(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<c \\ 1, & t \geq c\end{array}\right.\]

Es decir, si tenemos una función \(u_{2}(t)\), significa que la función vale cero hasta \(x=2\) y a partir de ese punto valdrá \(1\). El gráfico es igual al interior, solo que sustituimos \(c\) por \(2\).

Pero ahora viene lo interesante: ¿cómo hacemos la transformada de Laplace de eso?

Transformada de Laplace de la función escalón

Esta transformada es aquella que tenemos que memorizar. 

La transformada de Laplace de la función escalón es la siguiente,

\[\mathscr{L}\left\{u_{c}(t)\right\}=\frac{e^{-s c}}{s}\]

Un poco abstracto, ¿no? Veamos cómo aplicar esta transformada con algunos ejemplos.

Ejemplo: vamos a calcular la transformada de Laplace de la siguiente función,

\[y=2\left[u_{1}(t)-u_{2}(t)\right]\]

Ten en cuenta que \(y\) es la diferencia de dos funciones escalón, multiplicado por dos. No necesitas entender cómo es esa función para resolver la transformada, sin embargo, veamos un gráfico para que entiendas mejor:  

Vamos al punto, la transformada. Aquí podemos aplicar las propiedades de la transformada de Laplace:

\[\mathscr{L}\{y\}=2 \mathscr{L}\left\{u_{1}(t)-u_{2}(t)\right\}\]

\[=2\left(\mathscr{L}\left\{u_{1}(t)\right\}-\mathscr{L}\left\{u_{2}(t)\right\}\right)\]

Utilizamos la siguiente fórmula:

\[\mathscr{L}\{y\}=2\left(\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-2 s}}{s}\right)\]

Muy sencillo. Vamos a aumentar un poco más la dificultad. 

Transformada de Laplace de una función multiplicada por un escalón unitario

A continuación, vamos a multiplicar la función escalón por otra función. ¿No entendiste? Mira el siguiente ejemplo:

Ejemplo: cómo calcular la transformada de 

\[g(t)=u_{0}(t) \operatorname{sen} t\]

Como puedes observar, tenemos un escalón multiplicado por la función seno.

Entonces, cuando tenemos un caso de este tipo, utilizaremos la siguiente fórmula:

\[\mathscr{L}\left\{u_{c}(t) f(t-c)\right\}=e^{-c s} \mathscr{L}\{f(t)\}\]

Vamos a aplicarla en el ejemplo. La parte escalón que hallamos en \(g(t)\) es \(u_{0}(t)\). ¿Pero quién sería la parte \(f(t-c)\) que apareció dentro de la transformada? Es \(\operatorname{sen}t\). Entonces queda así:

\[\mathscr{L}\left\{u_{0}(t) \operatorname{sen} t\right\}\]

Pero recuerda que debemos escribir \(f(t)=\operatorname{sen} t\) como si fuera \(f(t-c)\). Entonces tendríamos:

\[\mathscr{L}\left\{u_{0}(t) \operatorname{sen}(t-c)\right\}\]

En nuestro caso \(c=0\), entonces podemos afirmar que \(\operatorname{sen}t=\operatorname{sen} (t-0)\). Entonces, la transformada queda así:

\[\mathscr{L}\left\{u_{0}(t) \operatorname{sen}(t-0)\right\}=e^{-0 . s} \mathscr{L}\{\operatorname{sen} t\}=\frac{1}{s^{2}+1}\]

Esta fórmula es conocida por el teorema del desplazamiento.

Entonces, cuando aparece una situación como esa, seguimos estos pasos:

  \(1.\) Debemos tener un escalón en un punto \(c\) y una función desplazada de \(c\) unidades (es escribir \(f(t-c)\). Tiene que ser el mismo \(c\).

  \(2.\) Hallar la \(f(t)\)

  \(3.\) Transformar \(f(t)\)

  \(4.\) Multiplicar la transformada por \(e^{-cs}\)

Veamos un ejemplo más para entender todo lo anterior.

Ejemplo: calcule la transformada de Laplace de la función \(y\) dada por

\[y=\left\{\begin{array}{cc}0 ; & t<2 \\ (t-2)^{2} ; & t \geq 2\end{array}\right.\]

Paso 1: vamos a graficar la función:

Recuerda que tenemos una función que vale cero hasta \(t=2\) y, después de eso, vale \(t-2)^{2}\). Entonces, tenemos una función escalón que comienza en \(t=2\) multiplicada por \(t-2)^{2}\), es decir:

\[y(t)=u_{2}(t)[t-2]^{2}\]

Eso quiere decir que:

Antes de \(t=2\), tenemos:

\[0 \times[t-2]^{2}=0\]

Después de \(t=2\), tenemos:

\[1 \times[t-2]^{2}=[t-2]^{2}\]

Esto es exactamente lo que pidió el problema. Ahora, debemos calcular la transformada de esa función.

Paso 2: encontrar \(f(t)\) a partir de \(f(t-c)\).

Entonces queremos:

\[\mathscr{L}\{y\}=\mathscr{L}\left\{u_{2}(t-2)^{2}\right\}\]

Recuerda la fórmula:

\[\mathscr{L}\left\{u_{c} f(t-c)\right\}=e^{-c s} \mathscr{L}\{f(t)\}\]

Sustituyendo,

\[\mathscr{L}\{u_{2} \underbrace{(t-2)^{2}}_{f(t-2)}\}=e^{-2 s} \mathscr{L}\{f(t)\}\]

“¿Pero cómo hallamos \(f(t)\)?” Comparando la expresión del teorema con la que hallamos, tendremos:

\[f(t)-(2)= (t-2)^{2}\]

Para que \(f(t-2)\) se convierta en \(f(t)\) Basta con eliminar \(-2\):

\[f(t)=t^{2}\]

Paso 3: calcular \(\mathscr{L}\{f(t)\}\)

Sabemos que

\[\mathscr{L}\left\{t^{2}\right\}=\frac{2}{s^{3}}\]

Sustituyendo estos valores, tenemos:

\[\mathscr{L}\left\{u_{2}(t-2)^{2}\right\}=e^{-2 s} \mathscr{L}\{f(t)\} \quad \rightarrow\]

\[\mathscr{L}\left\{u_{2}(t-2)^{2}\right\}=e^{-2 s} \frac{2}{s^{3}}\]

¡Y listo! Resolvimos una transformada de Laplace.

Quizá estés pensando: “¿Pero y si la función \(f\) no estuviera desplazada para \((t-c)\)?”

Esta tiene que ser en función de \((t-c)\) para que puedas aplicar la fórmula. Entonces tendremos que manipular la ecuación para que \(t-c\) aparezca.

Eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!