Delta de Dirac

Puede que necesitemos calcular la transformada de funciones que asumen un valor alto rápidamente, estas funciones son llamadas funciones impulso.

Imagina que tenemos un carro de juguete en reposo. Y que, en el momento \(t=2 s\) le das un empujón fuerte. ¿Que es un empujón? Una fuerza que actúa en el carro casi instantáneamente, de eso se trata el impulso. Dichas funciones son representadas mediante el Delta de Dirac, que para nuestro caso, tendría la siguiente notación:

\[\delta(t-2)\]

Podemos pensar en el Delta de Dirac de esta forma:

\[\delta(t-a)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t \neq a \\ \infty, & t=a\end{array}\right.\]

El punto \(a\) se refiere al momento en que la fuerza fue aplicada.

“¡Un momento, esta no es una función!” Tienes razón, se trata de una distribución. Sin embargo, regularmente se le llama “función delta”. 

Una de las propiedades del delta de Dirac es:

\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-a) d t=1\]

Transformada del Delta

“¿Cómo se calcula la transformada del delta de Dirac?” Podemos calcular su transformada utilizando esta fórmula:

\[\mathscr{L}\{\delta(t-c)\}=e^{-c s}\] 

Por ejemplo, si quisiéramos calcular:

\[\mathscr{L}\{\delta(t+2)\}\]

En este caso:

\[c=-2\]

Entonces:

\[\mathscr{L}\{\delta(t+2)\}=e^{2 s}\]

Y si quisiéramos calcular:

\[\mathscr{L}\{\delta(t-5)\}\]

En ese caso:

\[c=5\]

Y finalmente:

\[\mathscr{L}\{\delta(t-5)\}=e^{-5 s}\]

¡Presta atención! Ya que el signo del exponencial siempre será el mismo que el de la función del delta. 

También podemos encontrar al delta de Dirac siendo multiplicado por una función \(f\). Algo así:

\[f(t) \delta(t-c)\]

En ese caso la transformada será:

\[\mathscr{L}\{f(t) \delta(t-c)\}=f(c) e^{-s c}\]

Entonces, por ejemplo:

\[\mathscr{L}\{(5 t+3) \delta(t-1)\}=f(1) e^{-s}\]

En que:

\[f(t)=5 t+3\]

\[f(1)=8\]

\[\mathscr{L}\{(5 t+3) \delta(t-1)\}=8 e^{-s}\]

Y eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!