Teorema de convolución

Introducción

Ya hemos visto varias transformadas, pero aun así existen muchas más por aprender. En esta ocasión hablaremos sobre el teorema de convolución.

No te preocupes, será fácil. Primero, veamos qué es el producto de convolución, que es representado de la siguiente manera:

\[f^{*} g\] 

El símbolo del producto es un asterisco, porque el producto es distinto a una multiplicación común. 

Bien, pero ¿qué es esto?

La convolución es como la siguiente integral:

\[f(t) * g(t)=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau\]

Imagina que tenemos que calcular el producto cuando:

\[\underbrace{\operatorname{sen}(t)}_{f(t)} \underbrace{*}_{g(t)}\]

Es importante escribir el producto de convolución con el símbolo, \({*}\), para no confundirlo con el producto común. 

Para calcular el producto, usamos la siguiente definición:

\[\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau\]

Tenemos:

\[f(\tau)=\operatorname{sen}(\tau)\]

\[g(t-\tau)=t-\tau\]

Entonces:

\[y=\int_{0}^{t} \operatorname{sen}(\tau)(t-\tau) d \tau\]

Ahora tenemos que resolver la integral. Recuerda que estamos integrando en relación a \(\tau\).

\[t \int_{0}^{t} \operatorname{sen}(\tau) d \tau-\int_{0}^{t} \tau \operatorname{sen}(\tau) d \tau\]

\[-\left.t \cos (\tau)\right|_{\tau=o} ^{\tau=t}-\int_{0}^{t} \tau \operatorname{sen}(\tau) d \tau\]

\[-t \cos (t)+t-\int_{0}^{t} \tau \operatorname{sen}(\tau) d \tau\]

Para el otro pedazo tendremos que integrar por partes. Vamos a definir lo siguiente:

\[\begin{array}{cl}u=\tau & u^{\prime}=1 \\ v^{\prime}=\operatorname{sen}(\tau) & v=-\cos (\tau)\end{array}\]

De tal forma, tenemos:

\[-t \cos (t)+t-\left[-\left.\tau \cos (\tau)\right|_{\tau=0} ^{\tau=t}+\int_{0}^{t} \cos (\tau) d \tau\right]\]

\[=-t \cos (t)+t+t \cos (t)-0-\left.\operatorname{sen}(\tau)\right|_{\tau=0} ^{\tau=t}\]

\[\operatorname{sen}(t)^{*} t=t-\operatorname{sen}(t)\]

Y así resolvemos el producto de la convolución. 

¿Y cómo calculamos su transformada?

Mediante la fórmula:

\[\mathscr{L}\left\{f(t)^{*} g(t)\right\}=\mathscr{L}\{f(t)\} . \mathscr{L}\{g(t)\}\]

Es decir, basta con calcular la transformada de las dos funciones y hacer el producto. 

Por ejemplo:

\[\mathscr{L}\left\{\operatorname{sen}(t)^{*} t\right\}=\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\} \cdot \mathscr{L}\{t\}\]

Tenemos que:

\[\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\}=\frac{1}{s^{2}+1}\]

Y:

\[\mathscr{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\]

Entonces:

\[\mathscr{L}\left\{\operatorname{sen}(t)^{*} t\right\}=\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\} \cdot \mathscr{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}+1} \cdot \frac{1}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\]

A continuación veremos algunas de las propiedades del producto de la convolución.

Propiedades de la convolución

  \(\bullet\) \(f^{*} g=g^{*} f\) (conmutativa, el orden de los factores no altera el producto o el producto de convolución);

  \(\bullet\) \(f^{*}\left(g_{1}+g_{2}\right)=f^{*} g_{1}+f^{*} g_{2}\) (distributiva);

  \(\bullet\) \(f^{*}\left(g^{*} h\right)=\left(f^{*} g\right)^{*} h\) (asociativa);

  \(\bullet\) \(f^{*} 0=0\)

  \(\bullet\) \(f^{*} \delta=f\)

La última es poco intuitiva. El elemento neutro del producto de convolución no es el número \(1\), como en un producto común. Es decir:

\[f^{*} 1 \neq f\]

El “elemento unitario” del producto de convolución es el delta de Dirac \(\delta (t)\)

¡Vamos a los ejercicios!