Transformada de función multiplicada por t^n

Sabemos que la transformada de \(t^{n}\) siendo \(n\) un número entero positivo cualquiera es:

\[\mathscr{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{n !}{s^{n+1}}\]

¿Pero cuando \(t\) está multiplicando una función \(f(t)\) cualquiera? Tipo:

\[\mathscr{L}\left\{t^{n} \cos t\right\}=? ?\]

Transformada de \(t^{n} f(t)\)

Si aplicamos la definición de la transformada y hacemos la demostración, veremos que la idea para hacer las transformadas es: 

\[\mathscr{L}\{t f(t)\}=(-1)^{1} \frac{d F(s)}{d s}\]

\[L\left\{t^{2} f(t)\right\}=(-1)^{2} \frac{d^{2} F(s)}{d s^{2}}\]

Donde \(F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}\).

Ten en cuenta que el exponente de \(t\) es el mismo exponente de \((-1)\) que vamos a multiplicar y también es el orden de la derivada que usaremos. Mira la regla general:

\[\mathscr{L}\left\{t^{n} f(t)\right\}=(-1)^{n} \frac{d^{n}}{d s^{n}} F(s)\]

¡Bien, vamos allá! Si quisiéramos calcular la transformada de Laplace de \(t^{3} \operatorname{sen}(t)\), primero calculamos la transformada del segundo factor:

\[\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\}=\frac{1}{s^{2}+1}\]

Y usamos la fórmula:

\[\mathscr{L}\left\{t^{3} \operatorname{sen}(t)\right\}=(-1)^{3} \frac{d^{3}}{d s^{3}}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\frac{d^{3}}{d s^{3}}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)\]

Y allí tenemos que derivar \(3\) veces. Te diré un secreto:

\[\frac{d^{3}}{d s^{3}}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\frac{24 s\left(s^{2}-1\right)}{\left(1+s^{2}\right)^{4}}\]

Entonces tendremos:

\[\mathscr{L}\left\{t^{3} \operatorname{sen}(t)\right\}=\frac{24 s\left(s^{2}-1\right)}{\left(1+s^{2}\right)^{4}}\]

Y eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!