Transformada inversa de s^n

Luego de haber visto tantas transformadas, ¿tendremos lo necesario para resolver esta?:

\[\mathscr{L}^{-1}\{s\}=x(t)\]

“Wow, espera, todavía no sabemos hallar esa transformada”. Una transformada tan simple, que a pesar de todo, seguimos sin saber resolver. Pero no te preocupes, porque aquí te explicaremos cómo hacerlo. Para comezar,  queremos hallar \(x(t)\) tal que:

\[\mathscr{L}\{x(t)\}=X(s)=s\]

Bien, ¿por dónde comenzamos? Vamos a modificar \(s\) para que luzca como algo conocido. Mira:

\[s \bullet \frac{1}{s}=1\]

Parece mentira, pero nos resulta beneficioso. A fin de cuentas, sabemos que: 

\[\left\{\begin{aligned} L\{x(t)\} &=s \\ L\left\{u_{0}(t)\right\} &=\frac{1}{s} \end{aligned}\right.\]

Entonces en la práctica, lo que tenemos es:

\[\mathscr{L}\{x(t)\} \bullet \mathscr{L}\left\{u_{0}(t)\right\}=1\]

¿Producto de transformadas? Parece una integral de convolución, entonces:

\[\mathscr{L}\left\{x(t)^{*} u_{0}(t)\right\}=1\]

\[x(t)^{*} u_{0}(t)=\mathscr{L}^{-1}\{1\}\]

\[x(t)^{*} u_{0}(t)=\delta(t)\]

¡Bien, llegamos a algo! De aquí en adelante podemos sacar la definición de la convolución, mira lo que ocurre:

\[\int_{0}^{t} x(\tau) \bullet u_{0}(t-\tau) d \tau=\delta(t)\] 

Usando el teorema fundamental del cálculo podemos derivar los dos lados en relación a \(t\) y hallar:

\[x(t) \bullet u_{0}(t-t)=\delta^{\prime}(t)\]

\[x(t) \bullet u_{0}(0)=\delta^{\prime}(t)\]

\[x(t)=\delta^{\prime}(t)\]

Hallamos la función cuya transformada es la de \(s\).

\[\mathscr{L}\left\{\delta^{\prime}(t)\right\}=s\]

\[\mathscr{L}^{-1}\{s\}=\delta^{\prime}(t)\]

Transformada inversa de potencias de \(s\)

Probablemente estés pensando: si se la transformada inversa de \(s\), ¿será que se la de \(s^{2}\), \(s^{3}\)… ? Si dijiste que sí, pues es tu día de suerte. Vamos a mantener la misma idea, solo que esta vez intentado hallar \(x(t)\) tal que:

\[\mathscr{L}\{x(t)\}=X(s)=s^{2}\]

Si todavía tenemos en manos la idea de la convolución:

\[s^{2} \cdot \frac{1}{s}=s\]

\[\left\{\begin{array}{l}L\{x(t)\}=s^{2} \\ L\left\{u_{0}(t)\right\}=\frac{1}{s}\end{array}\right.\]

\[\mathscr{L}\{x(t)\} \bullet \mathscr{L}\left\{u_{0}(t)\right\}=s\]

\[\mathscr{L}\left\{x(t)^{*} u_{0}(t)\right\}=s\]

\[x(t)^{*} u_{0}(t)=\mathscr{L}^{-1}\{s\}\]

\[x(t)^{*} u_{0}(t)=\delta^{\prime}(t)\]

Y de aquí en adelante cambia no mucho. Repetimos la definición de la convolución y el teorema fundamental del cálculo:

\[\int_{0}^{t} x(\tau) \bullet u_{0}(t-\tau) d \tau=\delta^{\prime}(t)\]

\[x(t) \bullet u_{0}(t-t)=\delta^{\prime \prime}(t)\]

\[x(t) \bullet u_{0}(0)=\delta^{\prime \prime}(t)\]

Y luego:

\[\mathscr{L}\left\{\delta^{\prime \prime}(t)\right\}=s^{2}\]

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{s^{2}\right\}=\delta^{\prime \prime}(t)\]

Como puedes ver, que si quisiéramos hallar \(s^{3}\) el procedimiento sería el mismo. Entonces, podemos generalizar que para:

\[\mathscr{L}\left\{\delta^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\]

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{s^{n}\right\}=\delta^{(n)}(t)\]