Relación entre la función escalón y el delta de Dirac

El delta de Dirac como una fuerza

Erase una vez una fuerza llamada \(F\) que tenía la siguiente definición:

\[F(t-a)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2 \tau}, a-\tau<t<a+\tau \\ 0, a-\tau>t>a+\tau\end{array}\right.\]

\[a>0 ; \quad \tau>0 ; \quad t>0 ; \quad a>\tau\]

En español, tenemos una fuerza de tamaño \(\frac{1}{2\pi}\), que ocurre entre los instantes \(a-\tau\) y \(a+\tau\) (es decir, ocurre alrededor de \(t=a\)), solo que para instante diferentes esta es nula. En gráficos, tenemos, por ejemplo: 

Le dimos un valor \(\tau\) cualquiera solo para mostrar cuanto tiempo dura. Cuál es esa fuerza, te estarás preguntando. Algunos fenómenos físicos con fuerzas como esta son:

    \(\bullet\) Puede ser la fuerza electromotriz que recibe un circuito eléctrico.  

    \(\bullet\) Puede ser la fuerza aplicada a un sistema masa-resorte o incluso a cualquier objeto inicialmente en reposo, puesto en movimiento a causa de dicha fuerza.

“Bien, ¿pero qué tiene que ver todo eso con el delta de Dirac?” Pues ahora imagina que esa fuerza es instantánea. Para ello, hacemos: 

¡Entonces apareció el delta! Tan solo mira el gráfico del ejemplo. Conforme \(\tau \rightarrow 0\) la magnitud de la fuerza fue creciendo y el intervalo de actuación, tendiendo al instante \(t=a\):

Es decir, \(\delta(t-a)\) puede ser entendido como una función impulso, esta es, una fuerza virtualmente infinita que ocurre en determinado instante \(a\) solamente. Físicamente podemos ver esta fuerza, por ejemplo, cuando una pelota de fútbol es pateada:

O cuando un avión recibe el impacto de un trueno, entre otros. Para calcular la magnitud del impulso, hacemos: 

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty} F(t-a) d t\]

Pero como la función solo está definida para \(a-\tau<t<a+\tau\), tendremos:

\[I=\int_{a-\tau}^{a+\tau} \frac{1}{2 \tau} d t=\left.\frac{t}{2 \tau}\right|_{t=a-\tau} ^{t=a+\tau}=\frac{a+\tau-a+\tau}{2 \tau}=\frac{2 \tau}{2 \tau}=1\]

O sea, si entendemos al delta de Dirac como una fuerza, revelamos una propiedad interesantísima:

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-a) d t=1\]

E incluso es válida si la ley de formación de fuerzas es diferente a la que usamos. A fin de cuentas, el delta de Dirac también puede ser definido por el límite de las funciones con propiedades análogas a la secuencia de pulsos como esta:

\[F(t-a)=\frac{\sin \left(\frac{t}{\tau}\right)}{\pi t}\]

\[F(t-a)=\frac{e^{-\frac{(t-a)^{2}}{2 \tau}}}{\sqrt{2 \pi \tau}}\]

¿Pero eso qué tiene que ver con la función escalón?

Imagina que queremos hallar el valor de 

\[\int_{-\infty}^{t} \delta(u-a) d u\]

Se parece a la propiedad que acabamos de hallar, ¿cierto?  Con la diferencia de que \(t\) ahora es una variable. Ya que la definición del delta de Dirac es:

\[\delta(u-a)=\left\{\begin{array}{l}\infty, \quad u=a \\ 0, u \neq a\end{array}\right.\]

Podremos imaginar dos posibilidades para el valor del límite superior de integración \(u=t\):

Es decir, acabaremos obteniendo:

\[\int_{-\infty}^{t>a} \delta(u-a) d u=1\]

\[\int_{-\infty}^{t<a} \delta(u-a) d u=0\]

Donde la primera integral es la propiedad del delta de Dirac que hallamos anteriormente. En resúmen:

\[\int_{-\infty}^{t} \delta(u-a) d u=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<a \\ 1, & t>a\end{array}\right.\]

\[\int_{-\infty}^{t} \delta(u-a) d u=u_{a}(t)\]

¡Y esa es la función escalón! Para hallar la relación existente entre esta y el delta de Dirac, utilizamos el teorema fundamental del cálculo y derivamos ambos lados en relación a \(t\):

\[\delta(t-a)=u_{\alpha}^{\prime}(t)\]

En realidad, ni las funciones escalón ni Dirac son funciones si hablamos en sentido de cálculo diferencial e integrales. Es por esto que la derivada anterior solo tiene validez en un sentido generalizado. Se dice que el delta de Dirac es la derivada distribucional de la función escalón.

La derivada anterior solo tiene sentido si vemos a las funciones escalón como el límite de las funciones rampa. Viendo el escalón como una rampa de inclinación infinita y siendo la derivada una representación de dicha inclinación, el resultado cobra sentido, ¿verdad?

¡Vamos a los ejercicios!