Transformada de derivadas

Transformada de una derivada de primer orden

En esta ocasión estudiaremos la transformada de una derivada. 

Vamos a considerar una función del tipo \(f(t)=\cos t\) y sabemos que \(f(0)=\cos 0=1\). Supón que queremos hacer lo siguiente:

\[\mathscr{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}\]

Es decir, queremos calcular la transformada de la derivada de \(f\). Tiene una propiedad que es la siguiente:

\[\mathscr{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=s \mathscr{L}\{f(t)\}-f(0)\]

Para este caso tendremos:

\[\mathscr{L}\left\{(\cos t)^{\prime}\right\}=s \mathscr{L}\{\cos t\}-\cos 0\]

Utilizando la fórmula tenemos que:

\[\mathscr{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^{2}+1}\]

Entonces:

Observación: como \(f^{\prime}(t)=-\operatorname{sen} t\), sabemos que:

\[\mathscr{L}\{-\operatorname{sen} t\}=-\frac{1}{s^{2}+1}\]

¡Esa es la fórmula!

Transformada de una derivada de segundo orden

Imagina que queremos calcular la transformada de \(f^{\prime \prime}(t)\), para ello utilizamos esta fórmula:

\[\mathscr{L}\left\{f^{\prime \prime}(t)\right\}=s^{2} \mathscr{L}\{f(t)\}-s f(0)-f^{\prime}(0)\]

Mientras que para el caso \(f(t)= \cos {t}\), tenemos que \(f(0)=1\) y \(f^{\prime}(0)=-\operatorname{sen} {0}=0\). Por tanto:

\[\mathscr{L}\left\{(\cos t)^{\prime \prime}\right\}=s^{2} \mathscr{L}\{\cos t\}-s \cos 0+\operatorname{sen} 0\]

\[\mathscr{L}\left\{(\cos t)^{\prime \prime}\right\}=\frac{s^{3}}{s^{2}+1}-s=-\frac{s}{s^{2}+1}\]

Transformada de una derivada de orden \(n\)

Utilizamos la siguiente fórmula:

\[\mathscr{L}\left\{f^{n}(t)\right\}=s^{n} \mathscr{L}\{f(t)\}-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\ldots-s f^{n-2}(0)-f^{n-1}(0)\]

Te daré un consejo, recuerda que:

  \(\bullet\) El término \(s\) que multiplica la transformada tiene el mismo orden de la derivada.

  \(\bullet\) Después de la transformada, todos los términos están restando;

  \(\bullet\) Después de la transformada, el orden de \(s\) irá disminuyendo \(1\) a \(1\), mientras que el de \(f(0)\) aumenta en la misma proporción.

Los pasos a seguir son:

  \(\bullet\) Reconocer la función \(f(t)\)

  \(\bullet\) Hallar \(f(0)\), \(f^{\prime}(0)=\), \(f^{\prime \prime}(0)\), y así sucesivamente…

  \(\bullet\) Aplicar el teorema hasta el orden que nos indique el problema (normalmente hasta el segundo orden)

  \(\bullet\) Sustituir los valores encontrados.