Matrices-Formas Bilineales

Matriz asociada

 

Las formas bilineales también pueden ser asociadas a una matriz.

 

Recuerdas que para hallar la matriz de una transformación aplicabamos la transformación en los vectores de la base del dominio de la misma. 

 

Pues este caso es similar, pero en lugar de la base del dominio y codominio, tenemos dos bases para el dominio y “ninguna” para el codominio.

 

Por ejemplo, vamos a hallar las matriz de \(f\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{2}+2 x_{2} y_{1}\) con respecto a la base canónica. La matriz sería:

\[\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right)\]

 

Supongo que estarás intrigado sobre la manera en que armamos esta matriz. Así que veamos la explicación.

 

¿Recuerdas que la forma bilineal tiene como dominio dos espacio vectoriales? Entonces, vamos a decir que la base del primero es \(B=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right\}\), y la del segundo es \(C=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\). Como sabrás, en las transformaciones lineales teníamos que aplicar la transformación en los vectores de la base. En este caso también, tenemos que aplicar la transformación en todos ellos, es decir, tenemos que calcular

 

\[f\left(u_{1}, v_{1}\right), \quad f\left(u_{1}, v_{2}\right), \ldots, f\left(u_{1}, v_{n}\right)\]

 

\[f\left(u_{2}, v_{1}\right), \quad f\left(u_{2}, v_{2}\right), \ldots, f\left(u_{2}, v_{n}\right)\]

 

\[\vdots\]

 

\[f\left(u_{n}, v 1\right), f\left(u_{n}, v_{2}\right), \ldots, f\left(u_{n}, v_{n}\right)\]

 

En la primera columna, fijar el vector de la segunda base e ir variando el vector de la primera base. Al pasar a la otra columna, cambiar el vector de la segunda base. Ese es el orden para que no te pierdas.

 

Posteriormente, organizamos la matriz y tendremos que:

 

\[\left(\begin{array}{ccc}f\left(u_{1}, v_{1}\right) & \cdots & f\left(u_{1}, v_{m}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f\left(u_{n}, v_{1}\right) & \cdots & f\left(u_{n}, v_{m}\right)\end{array}\right)\]

 

Siendo \(f: U \times V \rightarrow \mathbb{R}\) una forma bilineal, \(B=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right\}\) una base de \(U\) y \(C=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}\right\}\) una base de \(V\), decimos que la matriz de \(f\) con respecto a \(B\) y \(C\) es:

 

\[\left(\begin{array}{ccc}f\left(u_{1}, v_{1}\right) & \cdots & f\left(u_{1}, v_{m}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f\left(u_{n}, v_{1}\right) & \cdots & f\left(u_{n}, v_{m}\right)\end{array}\right)\]

 

Veamos los pasos para armar la matriz del ejemplo. La base canónica del \(\mathbb{R}^{2}\) es \(Can =\{(1,0),(0,1)\}\), entonces:

 

     \(\bullet\) \(f((1,0),(1,0))=0, \quad f((1,0),(0,1))=1\)

 

     \(\bullet\) \(f((0,1),(1,0))=2, \quad f((0,1),(0,1))=0\)

 

Finalmente, solo colocamos estos números en la matriz.

 

Para aclarar dudas. Siendo \(f: U \times V \rightarrow \mathbb{R}\) una forma bilineal, \(B=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right\}\) una base de \(U\) y \(C=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}\right\}\) una base de \(V\), decimos que la matriz de \(f\) con respecto a \(B\) y \(C\) es:

 

\[\left(\begin{array}{ccc}f\left(u_{1}, v_{1}\right) & \cdots & f\left(u_{1}, v_{m}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f\left(u_{n}, v_{1}\right) & \cdots & f\left(u_{n}, v_{m}\right)\end{array}\right)\]

 

Entonces nos preguntamos, ¿para qué sirve esta matriz? Pues, para lo mismo que sirven las matrices de las transformaciones lineales: para usar la transformación de ciertas maneras y calcular las \(“f”\).

 

Para calcular \(f(u, v)\), siendo \(A\) la matriz de \(f\) en las bases \(B\) y \(\mathrm{C}[f]_{B, C}\), hacemos:

 

\[f(u, v)=[u]_{B}^{T}[f]_{B, C}[v]_{C}\]

 

Entonces, en el ejemplo, para calcular \(f((2,1),(-1,3))\) usando las matrices haremos:

 

\[f((2,1),(-1,3))=\left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-1 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3 \\ -2\end{array}\right)=2 \cdot 3-1 \cdot 2=4\]

 

Matrices en otras bases

 

Al igual que en las transformaciones lineales, queremos hallar la matriz asociada a una forma matricial en bases que no sean canónicas. Para eso usaremos las matrices de cambio de base. 

 

Vamos a suponer que sabemos cuál es la matriz de la forma bilineal \(f: U \times V \rightarrow \mathbb{R}\) en las bases canónicas de cada espacio. Y queremos hallarla con respecto a las bases \(B\) de \(U\) y \(C\) de \(V\).

 

Sabemos que:

 

\[[u]_{C a n}=[I d]_{C a n \leftarrow B}[u]_{B}\]

 

Además, del álgebra de matrices:

 

\[(X Y)^{T}=Y^{T} X^{T}\]

 

Siendo \(X\) y \(Y\) matrices cualquiera. Entonces:

 

\[[u]_{C a n}^{T}=[u]_{B}^{T}[I d\}_{C a n \leftarrow B}^{T}\]

 

Y más rápido:

 

\[[v]_{C a n}=[I d]_{C a n \leftarrow C}[v]_{C}\]

 

Entonces, saliendo de la fórmula que conocemos:

 

\[f(u, v)=[u]_{C a n}^{T}[f]_{C a n, C a n}[v]_{C a n}\]

 

Y sustituyendo las relaciones que acabamos de ver, tenemos:

 

\[f(u, v)=[u]_{B}^{T}[I d\}_{C a n \leftarrow B}^{T}[f]_{C a n, C a n}[I d]_{C a n \leftarrow C}[v]_{C}\]

 

Analizando la fórmula, vemos que en los “Can” tenemos los vectores de la manera que queríamos en la base que deseábamos. Entonces, todo lo que está en el medio solo puede ser la matriz que estábamos buscando:

 

\[[f]_{B, C}=[I d\}_{C a n \leftarrow B}^{T}[f]_{C a n, C a n}[I d]_{C a n \leftarrow C}\]

 

Usando el ejemplo \(f\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{2}+2 x_{2} y_{1}\), vamos a hallar su matriz en las bases \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\) y \(C=\{(-1,1),(-1,-1)\}\).

 

Veamos:

 

\[[I d]_{C a n \leftarrow B}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \Rightarrow[I d]_{C a n \leftarrow B}^{T}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)\]

 

\[[I d]_{C a n \leftarrow C}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)\]

 

Entonces, sustituyendo en la fórmula:

 

\[[f]_{B, C}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-2 & -3 \\ 3 & 1\end{array}\right)\]

 

¡Y listo! No olvides seguir practicar

 

Formas bilineales simétricas

 

Una forma bilineal simétrica es \(f(u, v)=f(v, u)\), para cualquier vector. Sin embargo, para que una forma sea simétrica esta tiene que ser de tipo \(f: V \times V \rightarrow \mathbb{R}\), es decir, salir de dos espacios iguales.

 

¿Y cómo saber si una forma es simétrica? Si una forma es simétrica, su matriz con respecto a cualquier base también lo es.

 

Recordando que una matriz \(A\) es simétrica solo si \(A=A^{T}\). Y comprobar si los números opuestos con respecto a la diagonal son iguales. Entonces, si:

 

\[[f]_{B, C}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 6 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \\ 5 & 3 & -1\end{array}\right)\]

 

Entonces \(f\) es simétrica, pero si:

 

\[[f]_{B, C}=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -2 & 0\end{array}\right)\]

 

No será simétrica. Así de simple.

 

Formas Cuadráticas

 

Por ejemplo, una forma cuadrática es:

 

\[q(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}\]

 

Se parece mucho a la ecuación de una elipse, pero no te confundas.

 

Decimos que una función \(q: V \rightarrow \mathbb{R}\), donde \(V\) es un espacio vectorial, es una forma cuadrática si existe una forma bilineal \(f: V \times V \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(q(v)=f(v, v)\).

 

Cabe resaltar que una forma cuadrática no está asociada a una sola forma bilineal, pero una forma bilineal SI está asociada a una sola forma cuadrática.

 

Si tomamos \(f\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{1}+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{2}\), haciendo \(f((x, y),(x, y))\), solo podemos hallar \(q(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}\) como la forma cuadrática asociada. Si tomamos \(f\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{1}+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{2}\), haciendo \(f((x, y),(x, y))\), solo podemos hallar \(q(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}\) como la forma cuadrática asociada. Pero tomando \(f\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{1}+x_{2} y_{2}\) llegamos a la misma forma cuadrática.

 

Sin embargo, si queremos hallar una forma bilineal simétrica asociada a una forma cuadrática, es única. Entonces, generalmente queremos hallar la forma simétrica asociada a la forma cuadrática.

 

En esencia, los términos con cuadrados van en la diagonal de la matriz y los términos mixtos se encuentran a cada lado. Para entender mejor veamos un ejemplo:

 

Entonces, si \(q(x, y)=a x^{2}+b x y+c y^{2}\) la matriz de la forma bilineal simétrica asociada es:

 

\[\left(\begin{array}{ll}a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c\end{array}\right)\]

 

Entonces, en el ejemplo es:

 

\[\left(\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1\end{array}\right)\]

 

También podemos querer, dada una forma bilineal cualquiera, hallar la simétrica que tiene la misma cuadrática asociada.

 

Si la matriz de \(f\) es:

 

\[\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\]

 

Entonces, la matriz de \(f_{s i m}\) es:

 

\[\left(\begin{array}{cc}a & \frac{b+c}{2} \\ \frac{b+c}{2} & d\end{array}\right)\]

 

Para llegar a esto, encontramos la cuadrática asociada a \(f\) y  usamos el método para hallar la matriz de \(f_{\text {sim }}\).

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