Superficies Cuádricas Rotadas
¡Bienvenidos, espero que todos estén genial! En esta ocasión hablaremos sobre la rotación de superficies cuádricas. En esencia, es similar a lo que ocurre con las cónicas.
Sabemos que en el espacio, es decir, en \(\mathbb{R}^{3}\), las cuádricas son superficies definidas por ecuaciones del tipo:
\[A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+D x y+E x z+F y z+G x+H y+I z+J=0\]
A partir de esta obtenemos los paraboloides, elipsoides, etc…
Si entendiste el concepto no se te hará difícil imaginarlo para \(\mathbb{R}^{4}, \mathbb{R}^{5}\) y \(\mathbb{R}^{24153}\), pero no hay de qué preocuparse, pues no trabajaremos con esas dimensiones.
Rotación de cuádricas
El objetivo es hallar un nuevo sistema de coordenadas en que podamos encontrar la cuádrica. La ecuación anterior es grande porque estamos un sistema de coordenadas distinto, pero si escogemos un nuevo, como por ejemplo:
Las cosas serían más fáciles.
Lo que hacemos es tomar una cuádrica rotada y, probablemente, trasladada y hallar un nuevo eje de coordenadas “desrotando” y “destrasladando”.
El objetivo es tomar algo así:
\[A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+D x y+E x z+F y z+G x+H y+I z+J=0\]
Y convertirlo en:
\[A^{\prime} x^{2}+B^{\prime} y^{2}+C^{\prime} z^{2}+K=0\]
Para entender cómo funciona, vamos a intentar simplificar la siguiente cuádrica:
\[2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+2 x z+2 y z+2 x-2 y+6 z+14=0\]
El primer paso es escribirlo de forma matricial, es decir:
Sustituyendo todo, tenemos que:
\[\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll}2 & -2 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]+14=0\]
Donde \(K=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\)
A continuación, vamos a calcular los autovalores \(\boldsymbol{\lambda}\).
Cuya fórmula es: \(|K-\lambda I|=0\)
Sustituyendo los valores
\[|K-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|=0\]
Calculando el determinante, tenemos:
\[(2-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)-[(2-\lambda)+(2-\lambda)]=0\]
\[\lambda\left(\lambda^{2}-5 \lambda+6\right)=0\]
Por tanto, \(\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=2\).
Vamos a calcular los autovectores.
La fórmula es \((K-\lambda I) v=0\)
Para \(\lambda_{1}=0\), tenemos:
\[\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\]
\[\left\{\begin{array}{l}2 x+z=0 \\ 2 y+z=0\end{array}=\begin{array}{c}y=x \\ z=-2 x\end{array}\right.\]
Podemos elegir cualquier valor para \(x\), \(y\) o \(z\) siempre que satisfagan la relación anterior.
Vamos a escoger \(x=1\). Por tanto, \(z=-2\) y \(y=1\).
Y así, tendremos el vector \((1,1,-2)\). No olvides que este debe ser unitario, entonces vamos a dividir por la norma.
Y hallamos el autovector \(v_{1}=\left(\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{-2 \sqrt{6}}{6}\right)\).
Para \(\lambda_{2}=3\)
\[\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\]
\[\left\{\begin{array}{l}-x+z=0 \\ -y+z=0\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c}x=z \\ y=z\end{array}\right.\]
Si \(x=1\), entonces \(y=z=1\).
Por tanto, el autovector es \(v_{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\)
Para \(\lambda_{3}=2\)
\[\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\]
\[\left\{\begin{array}{c}z=0 \\ x+y-z=0\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c}z=0 \\ x=-y\end{array}\right.\]
Si \(x=1\), entonces \(z=0\) y \(y=-1\).
Por tanto, el autovector es \(v_{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)\).
De esta manera logramos construir la matriz de los autovalores \((M)\) y de los autovectores \((N)\) y sustituir en una nueva fórmula matricial:
\[\left[\begin{array}{lll}x^{\prime} & y^{\prime} &z^{\prime}\end{array}\right][M]\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll}G & H & I\end{array}\right][N]\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right]+J=0\]
Siendo \(M=\left[\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3}\end{array}\right]\) y \(N=\left[\begin{array}{ccc}\uparrow & \uparrow & \uparrow \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{array}\right]\)
CUIDADO: el orden de los autovalores y autovectores es importante.
Sustituyendo los valores:
Lo que hicimos en esta nueva fórmula fue eliminar la rotación creando otros ejes coordenados \(x^{\prime}\), \(y^{\prime}\), \(z^{\prime}\).
Ahora debemos salir de la forma matricial:
Resolviendo la \(1^{era}\) parte, tenemos que:
\[\lambda_{1} x^{\prime 2}+\lambda_{2} y^{\prime 2}+\lambda_{3} z^{\prime 2}\]
\[3 y^{\prime 2}+2 z^{\prime3}\]
Resolviendo la \(2^{da}\) parte:
La relación entre \(x y z\) y \(x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}\) es:
\[\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=(N)\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right]\]
Entonces:
\[2 x-2 y+6 z=\left(\begin{array}{lll}2 & -2 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{-2 \sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right)\]
\[2 x-2 y+6 z=\left(\begin{array}{lll}-2 \sqrt{6} & 2 \sqrt{3} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)=-2 \sqrt{6} x^{\prime}+2 \sqrt{3} y^{\prime}+2 \sqrt{2} z^{\prime}\]
Y así obtendremos la siguiente ecuación:
\[3 y^{2}+2 z^{2}-2 \sqrt{6} x+2 \sqrt{3} y+2 \sqrt{2} z+14=0\]
En esta ocasión nos encontramos con un caso poco común, no podremos eliminar todos los términos lineales así como en la mayoría de los casos. Este ejemplo está diseñado especialmente para prepararte para este tipo de situaciones.
Pero todavía no terminamos, ¡falta algo más!
Ya “desrotacionamos” la cuádrica, pero esta también puede ser trasladada. Ten en cuenta que en este caso está trasladada, porque no podemos identificar la cuádrica tal como está.
Para resolver esto solo debemos completar cuadrados, de esta manera eliminar los términos lineales que conseguimos:
\[\left(3 y^{2}+2 \sqrt{3} y+1\right)+\left(2 z^{2}+2 \sqrt{2} z+1\right)-2 \sqrt{6} x+14=2\]
\[(\sqrt{3} y+1)^{2}+(\sqrt{2} z+1)^{2}-2 \sqrt{6} x+12=0\]
\[3\left(y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+2\left(z_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}-2 \sqrt{6} x_{2}+12=0\]
Haciendo:
\[x_{3}=x_{2}\]
\[y_{3}=y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[z_{3}=z_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\]
Finalmente, la ecuación de la cuádrica es:
\[3 y^{2}+2 z^{2}-2 \sqrt{6} x+12=0\]
Y su gráfico es:
En pocas palabras, hallamos el sistema de coordenadas más adecuado para ella. En este caso no pudimos eliminar el término lineal de \(x\) porque se trata de un paraboloide, figura la cual no tiene centro geométrico.
¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!
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