Superficies

¡Bienvenidos, espero que estén genial! Alguna vez has pensado ¿qué pasaría si uniéramos varias superficies distintas? ¿Cuál sería el resultado?

 

Ya conocemos varios tipos de superficies, por ejemplo, los rollos de papel higiénico son un claro ejemplo de superficies cilíndricas, un gorro de cumpleaños es una superficie cónica, y los objetos curvilíneos son un ejemplo de superficies de revolución.

 

 

¿Qué son las superficies cilíndricas, cónicas y de revolución? ¿Y cómo se representan estas superficies algebraicamente?

 

Superficies cilíndricas

 

Para formar una superficie cilíndrica, necesitamos una directriz, es decir, una curva que será la base de la superficie.

 

 

De hecho, para crear la superficie necesitamos un conjunto de rectas paralelas a una recta \(r\), llamadas generatrices, que contiene algún punto de la curva \(\Gamma\):

 

 

Si observas la superficie, notarás que todas las rectas paralelas a \(r\) (en rosa) tienen un punto en común con la recta directriz (en azul), esto será lo que definirá la superficie cilíndrica.

 

Veamos los pasos para obtener la ecuación de la superficie:

 

Considerando la directriz \(\Gamma\) y generatrices paralelas a \(r\), siendo \(\vec{r}=(m, n, p)\) un vector director de \(r\) y

 

\[\Gamma:\left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ g(x, y, z)=0\end{array}\right.\]

 

Por la definición, tenemos que un punto \(X=(x, y, z)\) pertenece a la superficie si, y solamente si, existe un punto \(Q=(u, v, w)\) de \(\Gamma\) y un número real \(\lambda\) tal que \(\overrightarrow{X Q}= \lambda \overrightarrow{r}\). Entonces, podemos escribir que:

 

\[\left\{\begin{array}{l}u=x+\lambda m \\ v=y+\lambda n \\ w=z+\lambda p\end{array}\right.\]

 

Para asegurarnos de que \(X\) pertenece a la superficie, existe un número real \(\lambda\) tal que:

 

\[\left\{\begin{array}{l}f(x+\lambda m, y+\lambda n, z+\lambda p)=0 \\ g(x+\lambda m, y+\lambda n, z+\lambda p)=0\end{array}\right.\]

 

¡Y listo! Con las dos relaciones anteriores podemos hallar la ecuación de la superficie cilíndrica.

 

Veamos un ejemplo:

 

Vamos a hallar la ecuación de la superficie cilíndrica de directriz \(\Gamma:\left\{\begin{array}{c}(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ y=0\end{array}\right.\) y recta \(r:\left\{\begin{array}{c}x=2 \lambda \\ y=\lambda \\ z=2+\lambda\end{array}\right.\).

 

Lo primero que haremos es igualar \(\Gamma\) a su ecuación original. 

 

\[\Gamma:\left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ g(x, y, z)=0\end{array}\right.\]

 

Tendremos que:

 

\[\Gamma:\left\{\begin{array}{c}f(x, y, z)=(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}-6=0 \\ g(x, y, z)=y=0\end{array}(I)\right.\]

 

De la ecuación de \(r\), tenemos que \(\vec{r}=(2,1,1)=(m, n, p)\). Sustituyendo esto en

 

\[\left\{\begin{array}{l}f(x+\lambda m, y+\lambda n, z+\lambda p)=0 \\ g(x+\lambda m, y+\lambda n, z+\lambda p)=0\end{array}\right.\]

 

Tenemos que

 

\[\left\{\begin{array}{l}f(x+2 \lambda, y+\lambda, z+\lambda)=0 \\ g(x+2 \lambda, y+\lambda, z+\lambda)=0\end{array} \quad(I I)\right.\]

 

Vamos a sustituir \((II\)) en \((I)\) para hallar la ecuación de la superficie cilíndrica.

 

\[\left\{\begin{array}{c}{[(x+2 \lambda)+1]^{2}+(y+\lambda)^{2}+(z+\lambda)^{2}=6(i)} \\ y+\lambda=0(i i)\end{array}\right.\]

 

De \((ii)\) tenemos que \(y=-\lambda\). Sustituyendo esto en \((i)\) y simplificando, obtenemos:

 

\[(x-2 y+1)^{2}+(z-y)^{2}=6\]

 

Que es la ecuación de la superficie cilíndrica.

 

Superficies cónicas

 

Para generar una superficie cónica nuevamente vamos a necesitar una directriz, además de un vértice \((V)\):

 

 

La superficie cónica será definida por el conjunto de rectas, llamadas generatrices, que contienen el vértice \(V\) y algún punto de \(\Gamma\). Nota: \(\Gamma\) NO contienen el vértice.

 

Vamos a ver cómo obtener las ecuaciones de la superficie:

 

 

Considerando una superficie cónica de directriz \(\Gamma\) y vértice \(V\), siendo \(V=(h, k, l)\) y

 

\[\Gamma:\left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ g(x, y, z)=0\end{array}\right.\]

 

Por la definición, un punto \(X=(x, y, z)\), distinto de \(V\), pertenece a la superficie si, y solamente si, existe un punto \(Q=(u, v, w)\) en \(\Gamma\) y \(\lambda \neq 0\) tales que \(\overrightarrow{V Q}=\lambda \overrightarrow{V X}\). Escribiendo con ecuaciones paramétricas, tenemos:

 

\[\left\{\begin{array}{c}u=h+\lambda(x-h) \\ v=k+\lambda(y-k) \\ w=l+\lambda(z-l)\end{array}\right.\]

 

Entonces, \(X\) pertenece a la superficie si, y solamente si, \(X=V\) o existe un número real \(\lambda \neq 0\) tal que

 

\[\left\{\begin{array}{l}f(h+\lambda(x-h), k+\lambda(y-k), l+\lambda(z-l))=0 \\ g(h+\lambda(x-h), k+\lambda(y-k), l+\lambda(z-l))=0\end{array}\right.\]

 

Con las dos ecuaciones anteriores podemos determinar la ecuación de la superficie cónica.

 

Veamos un ejemplo:

 

Halle la ecuación de la superficie cónica con \(V=(2,1,3)\) y directriz \(\Gamma:\left\{\begin{array}{c}z^{2}+y^{2}=4 \\ x=0\end{array}\right.\).

 

Entonces, vamos a escribir la ecuación de la directriz en su forma original

 

\[\Gamma:\left\{\begin{array}{c}f(x, y, z)=z^{2}+y^{2}-4=0 \\ g(x, y, z)=x=0\end{array}(I)\right.\]

 

Como el vértice es \((2,1,3)=(h, k, l)\), vamos a sustituir en

 

\[\left\{\begin{array}{l}f(h+\lambda(x-h), k+\lambda(y-k), l+\lambda(z-l))=0 \\ g(h+\lambda(x-h), k+\lambda(y-k), l+\lambda(z-l))=0\end{array}\right.\]

 

Y tendremos que:

 

\[\left\{\begin{array}{l}f(2+\lambda(x-2), 1+\lambda(y-1), 3+\lambda(z-3))=0 \\ g(2+\lambda(x-2), 1+\lambda(y-1), 3+\lambda(z-3))=0\end{array}(I I)\right.\]

 

Sustituyendo \((II)\) en \((I)\), tenemos

 

\[\left\{\begin{array}{c}{[3+\lambda(z-3)]^{2}+[1+\lambda(y-1)]^{2}=4(i)} \\ 2+\lambda(x-2)=0(i i)\end{array}\right.\]

 

De \((ii)\) tenemos que \(\lambda=-\frac{2}{x-2}\). Sustituyendo esa relación en \((i)\) y simplificando, obtenemos:

 

\[(3 x-2 z)^{2}+(x-2 y)^{2}-4(x-2)^{2}=0\]

 

Y esa es la ecuación de una superficie cónica.

 

Superficies de Revolución

 

Un ejemplo de superficie de revolución es la superficie esférica, que se forma rotando una semicircunferencia (arco de \(180^{\circ}\)) con respecto a un eje. 

 

 

La superficie de revolución es definida por el conjunto de circunferencias, cuyos centros pertenecen a \(r\) e interceptan \(\Gamma\). Es decir, es la superficie formada por la rotación de una curva \((\Gamma)\) con respecto a \(r\).

 

 

Ten en cuenta que las circunferencias están en planos perpendiculares a \(r\), como el plano \(\pi\) en verde, que se muestra en el segundo gráfico.

 

En esta superficie, \(\Gamma\) es llamada generatriz, y \(r\) será el eje de rotación o el eje de simetría.

 

 

Entonces, para obtener las ecuaciones de la superficie generada por la rotación de \(\Gamma\) con respecto a \(r\) vamos a considerar que:

 

     \(\bullet\) Considerando \(C=(h, k, l)\) un punto perteneciente a \(r\)

 

     \(\bullet\) \(\vec{r}=(m, n, p)\) el vector director de \(r\)

 

Y que

 

\[\Gamma:\left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ g(x, y, z)=0\end{array}\right.\]

 

Para hallar la ecuación de la superficie debemos satisfacer todas las reglas de la definición:

 

     \(1.-\) Un punto \(X=(x, y, z)\) pertenece a la superficie si, y solamente si, \(X\) pertenece a un paralelo que intercepta \(\Gamma\) en \(Q=(u, v, w)\).

 

     \(2.-\) \(2.-\) El paralelo es la intersección del plano que contiene \(Q\) y es perpendicular a \(r\), \(\pi: m x+n y+p z=\lambda\), con la superficie esférica de centro \(C\) que contiene \(Q\), es decir, \(S:(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=\mu^{2}\). Entonces, \(X\) pertenece a la superficie si, y solamente si, existen números reales \(u\), \(v\), \(w\), \(\lambda\) y \(\mu\) tales que \(\mu \geq 0\) y

 

\[\left\{\begin{array}{c}m x+n y+p z=\lambda \\ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=\mu^{2}\end{array}\right.\]

 

\[\left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ g(x, y, z)=0\end{array}\right.\]

 

Con las cuatro relaciones anteriores debemos hallar una relación entre \(\varphi(\lambda, \mu)=0\) de la forma en que conseguimos escribir la ecuación de la superficie sólo en función de \(x\), \(y\) y \(z\).

 

Veamos un ejemplo:

 

Vamos a hallar la ecuación de la superficie de revolución con \(\Gamma:\left\{\begin{array}{c}x^{2}+z^{2}=4 \\ z+y=0\end{array}\right.\), eje de simetría \(r:\left\{\begin{array}{c}x=2 \alpha \\ y=1+\alpha \\ z=\alpha\end{array}\right.\) y centro \(C=(0,1,0)\).

 

La resolución de este ejercicio es un poco distinta, pero también es fácil. Mira:

 

Vamos a escribir \(\Gamma\) en su forma original:

 

\[\left\{\begin{array}{c}f(x, y, z)=x^{2}+z^{2}-4=0 \\ g(x, y, z)=z+y=0\end{array}\right.\]

 

Sabemos que \(C=(0,1,0)=(h, k, l)\) y \(\vec{r}=(2,1,1)=(m, n, p)\). Con eso escribimos la relación

 

\[\left\{\begin{array}{c}m x+n y+p z=\lambda \\ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=\mu^{2}\end{array}\right.\]

 

Que es:

 

\[\left\{\begin{array}{c}2 x+y+z=\lambda \\ x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=\mu^{2}\end{array}\right.\]

 

Entonces, armamos el sistema:

 

\[\left\{\begin{array}{c}x^{2}+z^{2}=4 \\ z+y=0 \\ 2 x+y+z=\lambda \\ x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=\mu^{2}\end{array}\right.\]

 

Resolviendo en función de \(x\), \(y\) y \(z\), tenemos la respuesta

 

\[9-2 y-\left[\frac{2 x+y+z}{2}\right]^{2}-\left[x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}\right]=0\]

 

¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!

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