Elipses

¡Bienvenidos, espero que estén genial! En esta ocasión hablaremos sobre las elipses.

La elipse es una circunferencia achatada, como se aprecia en el siguiente gráfico:

Y su definición es:

Considerando dos puntos distintos \(F_{1}\) y \(F_{2}\) de modo que la distancia entre estos sea \(2 c\), es decir, \(d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 c\). Considerando un número real \(a\), la elipse es el conjunto de todos los puntos \(P\) del plano tal que:

\[d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a\]

Antes de conocer las ecuaciones de la elipse veamos algunos de sus elementos:

Del gráfico, tenemos los siguientes elementos:

     \(\bullet\) Focos: los puntos \(F_{1}\) y \(F_{2}\).

     \(\bullet\) Distancia focal:  la distancia \(2 c\) entre los focos.

     \(\bullet\) Centro: el punto \(C\), punto medio entre los focos.

     \(\bullet\) Eje mayor: es el segmento \(A_{1}\)\(A_{2}\) cuya longitud es \(2a\)

     \(\bullet\) Eje mayor: es el segmento \(B_{1}\)\(B_{2}\) cuya longitud es \(2b\)

     \(\bullet\) Vértices: son los puntos \(A_{1}, A_{2}, B_{1}\) y \(B_{2}\).

También está la excentricidad, que es el número dado por:

\[e=\frac{c}{a}\]

Donde \(c<a\) y, por tanto, \(0<e<1\).

El teorema de Pitágoras es válido en todas las elipses:

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]

A continuación vamos a escribir las ecuaciones de la elipse. Para su estudio las dividiremos en 3 casos:

     \(\bullet\) Caso \(Nº1\): el eje mayor está sobre el eje de las \(x\).

     \(\bullet\) Caso \(Nº2\): el eje mayor está sobre el eje de las \(y\).

     \(\bullet\) Caso \(Nº3\): traslación.

Caso \(Nº1\)

Para este caso vamos a considerar el siguiente gráfico:

Sea \(P(x, y)\) un punto cualquiera de la elipse y considerando los focos \((-c, 0)\) y \((c, 0)\), por la definición presentada anteriormente tenemos:

\[d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a\]

Sustituyendo el punto \(P\), los focos y calculando las distancias, obtenemos la siguiente ecuación:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

Que es la ecuación reducida de la elipse de centro en origen y eje mayor sobre \(x\).

¿Y cuales son los vértices? Analizando el gráfico anterior, tenemos que:

\[A_{1}=(-a, 0), A_{2}=(a, 0), B_{1}=(0,-b) \space \text { y } \space B_{2}=(0, b)\]

Caso \(Nº2\)

Si el eje mayor está sobre el eje \(y\), tenemos el siguiente gráfico:

De acuerdo con la definición de la elipse, tenemos que la ecuación reducida de la elipse del gráfico es:

\[\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\]

Nuevamente, vemos que los vértices siguen siendo los mismos que los del caso anterior:

\[A_{1}=(0,-a), A_{2}=(0, a), B_{1}=(-b, 0) \space \text { y } \space B_{2}=(b, 0)\]

Algunos puntos a resaltar:

     \(\bullet\) El valor de \(a>b\)

     \(\bullet\) \(a\) siempre es el eje mayor

     \(\bullet\) El mayor denominador de la ecuación reducida siempre representa a \(a^{2}\). Por tanto, si el mayor valor está dividiendo a \(x^{2}\), significa que estamos en el Caso \(Nº1\), pero si el mayor denominador está dividiendo a \(y^{2}\), entonces estamos en el Caso \(Nº2\).

Para terminar, hablemos de la traslación.

Caso \(Nº3\)

En este caso, existen dos posibilidades mostradas a continuación:

Una traslación es el cambio del centro de la elipse, es decir, en los casos \(1\) y \(2\) los centros eran \((0,0)\), pero ahora los centros están desplazados. Entonces, los centros serán:

\[C(h, k)\]

Y sus ecuaciones serán:

\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\]

\[\text { o }\]

\[\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}+\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\]

Entonces, para resolver usaremos el mismo esquema que para las parábolas:

     \(1.\) Escribe en un sistema de coordenadas \(x^{\prime}y^{\prime}\), que tiene las relaciones

\[x^{\prime}=x-h\]

\[y^{\prime}=y-k\]

     \(2.\) Hallar todos los elementos en el sistema \(x^{\prime} y^{\prime}\) considerando uno de los casos (\(1\) o \(2\)).

     \(3.\) Pasar del sistema \(x^{\prime}y^{\prime}\) al sistema tradicional \(xy\)

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!