Formas Bilineales

Definición

Una forma bilineal es una función \(f: U \times V \rightarrow R\), donde \(U\) y \(V\) son espacios vectoriales, que obedecen las siguiente propiedades:

     \(1.\) \(f\left(u_{1}+u_{2}, v\right)=f\left(u_{1}, v\right)+f\left(u_{2}, v\right)\) 

     \(2.\) \(f\left(u, v_{1}+v_{2}\right)=f\left(u, v_{1}\right)+f\left(u, v_{2}\right)\)

     \(3.\) \(f(\lambda u, v)=\lambda f(u, v)\)

     \(4.\) \(f(u, \lambda v)=\lambda f(u, v)\)

Estas propiedades son parecidas a las de las transformaciones lineales.

Pero en lugar de demostrar todas estas propiedades, podemos simplificarlas en dos. Entonces, en la mayoría de los ejercicios cuando queremos demostrar que una transformación es bilineal tenemos que probar que:

    \(1.\) \(f\left(u_{1}+\lambda u_{2}, v\right)=f\left(u_{1}, v\right)+\lambda f\left(u_{2}, v\right)\)

    \(2.\) \(f\left(u, v_{1}+\lambda v_{2}\right)=f\left(u, v_{1}\right)+\lambda f\left(u, v_{2}\right)\)

Ejemplo

Demuestre que \(f: R^{2} \times R^{2} \rightarrow R, f(u, v)=x_{1} y_{2}+2 x_{2} y_{1}\), donde \(u=\left(x_{1}, y_{1}\right)\) y \(v=\left(x_{2}, y_{2}\right)\).

Simplemente tenemos que demostrar las propiedades anteriores. Lo complicado es no perderse con tantas variables, así que presta mucha atención durante la resolución del ejercicio.

Paso 1: vamos a suponer que: \(f(u+\lambda w, v)=f(u, v)+\lambda f(w, v)\)

Cambiamos el nombre de las variables para facilitar el cálculo, porque ahora haremos \(u=\left(u_{1}, u_{2}\right), w=\left(w_{1}, w_{2}\right)\) y \(v=\left(v_{1}, v_{2}\right)\). Entonces, tenemos:

\[f(u+\lambda w, v)=f\left(\left(u_{1}+\lambda w_{1}, u_{2}+\lambda w_{2}\right),\left(v_{1}, v_{2}\right)\right)\]

Aplicando la fórmula de la función:

\[f(u+\lambda w, v)=\left(u_{1}+\lambda w_{1}\right) v_{2}+2 v_{1}\left(u_{2}+\lambda w_{2}\right)\]

\[f(u+\lambda w, v)=\left(u_{1} v_{2}+2 v_{1} u_{2}\right)+\lambda\left(w_{1} v_{2}+2 v_{1} w_{2}\right)\]

\[f(u+\lambda w, v)=f(u, v)+\lambda f(w, v)\]

Paso 2: vamos a probar que: \(f(u, v+\lambda w)=f(u, v)+\lambda f(u, w)\)

Manteniendo la misma notación del paso anterior:

\[f(u, v+\lambda w)=f\left(\left(u_{1}, u_{2}\right),\left(v_{1}+\lambda w_{1}, v_{2}+\lambda w_{2}\right)\right)\]

Aplicando la fórmula de la función:

\[f(u, v+\lambda w)=u_{1}\left(v_{2}+\lambda w_{2}\right)+2\left(v_{1}+\lambda w_{1}\right) u_{2}\]

\[f(u, v+\lambda w)=\left(u_{1} v_{2}+2 v_{1} u_{2}\right)+\lambda\left(u_{1} w_{2}+2 w_{1} u_{2}\right)=f(u, v)+\lambda f(u, w)\]

\[f(u, v+\lambda w)=f(u, v)+\lambda f(u, w)\]

Probamos las dos desigualdades, por tanto, se trata de una forma bilineal.

¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!