Rotación de Secciones Cónicas - Método Matricial
Introducción
Ya sabemos cómo definir parábolas, elipses e hipérbolas en el plano cuando están en el eje \(x\) o \(y\).
¿Y si no estuvieran en ninguno de los dos ejes? Como por ejemplo:
En el gráfico podemos observar una parábola “torcida”; se dice que está rotada.
Supongo que te estarás preguntando: ¿Cómo analizamos cónicas rotadas? ¿Cuáles son sus ecuaciones?
Ecuación general de las Cónicas
Toda cónica, sea cual sea, puede ser escrita por la ecuación general:
\[A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\]
Es decir, si tenemos la ecuación de la elipse: \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\), podemos escribirla como:
\[\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}-1=0\]
En tal caso, \(A=\frac{1}{25}, C=\frac{1}{16}, F=-1\) y el resto de los coeficientes es \(0\).
Siempre que el término \(xy\) aparezca en la ecuación, la cónica está rotada. Es decir:
\(\bullet\) Si \(B=0\), la cónica no está rotada, quizá esté trasladada.
\(\bullet\) Si \(B \neq 0\), el término \(xy\) estará presente y, por tanto, la cónica estará rotada.
¿Y si \(B\) es diferente de \(0\)? Siempre que \(D\) y/o \(E\) sea diferente de \(0\), la cónica estará trasladada.
Rotación de ejes
Ya sabemos que cuando \(xy\) está presente en la ecuación, la cónica está rotada.
Vamos a suponer que tenemos una hipérbola en el sistema \(xOy\):
Pero si rotamos la hipérbola en un ángulo \(\theta\), sale del sistema \(xOy\) para estar en el sistema \(x^{\prime}Oy^{\prime}\) (algunas personas usan \(uOv\) pero se refieren a lo mismo)
Normalmente, el problema nos dará la ecuación de la cónica rotada en el sistema \(xOy\) y entonces para descubrir cuál cónica es, la transformamos en el sistema \(x^{\prime}O y^{\prime}\) (o \(uOv\)).
Vamos a usar como ejemplo la ecuación general \(x^{2}+3 x y+y^{2}-2 x-2 y=1\), que también puede ser escrita como:
\[x^{2}+3 x y+y^{2}-2 x-2 y-1=0\]
Los coeficientes de esta ecuación, comparando con la ecuación general al inicio, son:
\[A=1 \quad B=3 \quad C=1 \quad D=-2 \quad E=-2 \quad F=-1\]
En esta ecuación tenemos el término \(xy\), entonces está rotada y debemos hallar su ecuación en el sistema de coordenadas \(x^{\prime}O y^{\prime}\).
Veamos los pasos para hacerlo:
Paso \(1\): hallar el ángulo de rotación
Antes que nada, debemos entender: ¿a qué ángulo \(\theta\) la cónica “original” fue rotada? Y para descubrirlo usaremos la siguiente relación:
\[\operatorname{tg}(2 \theta)=\frac{B}{A-C}\]
Entonces, en el ejemplo:
\[\operatorname{tg}(2 \theta)=\frac{3}{1-1}=\frac{3}{0}\]
¿Cómo vamos a dividir por \(0\)?
Eso quiere decir que la tangente del ángulo \(2\theta\) no existe. Entonces, vamos a pensar ¿cuál es el ángulo en el que no existe la tangente? \(90º\), ¿verdad? Así que:
\[2 \theta=90^{\circ}\]
\[\theta=45^{\circ}\]
Nota: siempre que \(A=C\), el ángulo de rotación será \(45º\), de lo contrario tendremos que utilizar la relación para resolver.
Paso 2: cambio de ejes
Vamos a usar una relación entre el sistema \(x O y\) y \(x^{\prime} O y^{\prime}\):
\[x=x^{\prime} \cdot \cos \theta-y^{\prime} \cdot \operatorname{sen} \theta\]
\[y=x^{\prime} \cdot \operatorname{sen} \theta+y^{\prime} \cdot \cos \theta\]
Esta relación proviene de:
\[\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \\ \operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]\]
Por eso decimos que es la forma matricial.
(si estuviéramos usando la notación \(uOv\), solo tendríamos que cambiar \(x^{\prime}\) por \(u\) y \(y^{\prime}\) por \(v\))
En el ejemplo, \(\cos 45^{\circ}=\operatorname{sen} 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), entonces:
\[x=x^{\prime} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}-y^{\prime}\right)(\boldsymbol{I})\]
\[y=x^{\prime} \frac{\sqrt{2}}{2}+y^{\prime} \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}+y^{\prime}\right) (\boldsymbol{II})\]
Paso 3: hallar los nuevos coeficientes \(A^{\prime}\) y \(C^{\prime}\)
En la ecuación del sistema \(x O y\) tenemos los coeficientes \(A\) y \(C\), que en el ejemplo son \(1\) y \(1\).
Para la ecuación del sistema \(x^{\prime} O y^{\prime}\), vamos a encontrar los coeficientes \(A^{\prime}\) y \(C\) por el sistema:
\[\left\{\begin{array}{l}A^{\prime}+C^{\prime}=A+C \\ A^{\prime}-C^{\prime}=\frac{B}{\operatorname{sen}(2 \theta)}\end{array}\right.\]
Entonces, en el ejemplo:
\[\left\{\begin{array}{l}A^{\prime}+C^{\prime}=1+1 \\ A^{\prime}-C^{\prime}=\frac{3}{\operatorname{sen} 90^{\circ}}\end{array}\right.\]
\[\left\{\begin{array}{l}A^{\prime}+C^{\prime}=2 \\ A^{\prime}-C^{\prime}=3\end{array}\right.\]
Resolviendo este sistema, tenemos que \(A^{\prime}=\frac{5}{2} \text { y } C^{\prime}=-\frac{1}{2}\).
Paso 4: hallar la parte lineal de la ecuación
Este paso solo aplica si la cónica está trasladada, es decir, si \(D\) y/o \(E\) son diferentes de \(0\).
Vamos a sustituir las ecuaciones \((I)\) y \((II)\) (las del paso 2) en la parte lineal de la ecuación original, es decir, en las partes que multiplican \(x\) y \(y\):
\[-2 x-2 y\]
\[-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}-y^{\prime}\right)\right)-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}+y^{\prime}\right)\right)\]
\[-\sqrt{2} x^{\prime}+\sqrt{2} y^{\prime}-\sqrt{2} x^{\prime}-\sqrt{2} y\]
\[-2 \sqrt{2} x\]
Entonces, en lugar de \(-2 x-2 y\) en la ecuación, vamos a escribir \(-2 \sqrt{2} x^{\prime}\).
Paso 5: escribir la ecuación en el sistema \(x^{\prime} O y^{\prime}\)
Finalmente vamos a escribir la ecuación en el nuevo sistema de coordenadas, que será:
\[A^{\prime} x^{\prime 2}+C^{\prime} y^{\prime 2}-2 \sqrt{2} x^{\prime}-1=0\]
\[\frac{5}{2} x^{\prime 2}-\frac{1}{2} y^{\prime 2}-2 \sqrt{2} x^{\prime}-1=0\]
Como puedes notar, el término \(xy\) ha desaparecido porque en el nuevo sistema de coordenadas la cónica no está rotada.
Para identificar cuál es la cónica, solo tenemos que completar cuadrados en \(x\) (porque está trasladada) y hacer los ajustes necesarios. Finalmente, veremos que se trata de una hipérbola, a continuación tenemos el gráfico de la rotación (verde) y luego de hacer todos los pasos (rojo).
Los pasos son válidos para cualquier cónica rotada.
¡Y eso es todo amigos, vamos a practicar en la sección de ejercicios!
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