Identificando las Cónicas

Cónicas

Para cerrar el tema, aprenderemos a reconocer algunas cuádricas, especialmente las cónicas del \(\mathbb{R}^{2}\). Lo haremos analizando la ecuación, pudiendo estar simplificada o no.

Elipse

Un ejemplo de elipse es la curva definida por la ecuación:

\[x^{2}+4 y^{2}=4\]

La ecuación también equivale a:

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1\]

Entonces, la ecuación general de una elipse es:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

Donde \(a\) y \(b\) son los semiejes.

Cuidado: a partir de este punto, cuando hablamos de ecuación general significa que todas las cónicas de ese tipo tienen la ecuación simplificada de tal manera. Si aparecen términos mixtos y lineales los simplificaremos de la manera que acabamos de ver.

Hipérbola

Por ejemplo, una hipérbola es la curva definida por la ecuación:

\[x^{2}-y^{2}=1\]

Y la ecuación general:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

Presta atención si aparece:

\[\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\]

También es una hipérbola, pero con distintas coordenadas.

Parábola

El ejemplo ideal de una parábola es una curva:

\[y=x^{2}\]

Y la ecuación general:

\[y=a x^{2}\]

Nuevamente, también es válido:

\[x=a y^{2}\]

Generalmente vamos a simplificar las ecuaciones que nos dan y ver a qué tipo de ecuación llegamos.

Degeneraciones

Este método no es demasiado bueno, pues no se pueden verificar las degeneraciones.

Si la ecuación de la cónica es:

\[A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\]

Y

\[\Delta=B^{2}-4 A C\]

Donde tenemos que:

\(\Delta<0 \Rightarrow\) Elipse

\(\Delta=0 \Rightarrow\) Parábola

\(\Delta>0 \Rightarrow\) Hipérbola

Por lo general la fórmula funciona, pero no siempre. ¿Por qué?

Veamos un ejemplo:

\[\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}-2 \sqrt{2} y-\sqrt{2} x=3\]

Tenemos:

\[\Delta=1\]

Esperamos que sea una hipérbola, pero en realidad es:

Un par de rectas. Vamos a simplificar la ecuación y ver por qué. Completando cuadrados:

\[\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}-2 \sqrt{2} y-\sqrt{2} x-3=0\]

\[\left(\frac{x^{2}}{2}-\sqrt{2} x+1\right)-\left(\frac{y^{2}}{2}+2 \sqrt{2} y+4\right)-3=-4+1\]

\[\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-1\right)^{2}-\left(\frac{y}{\sqrt{2}}+2\right)^{2}=0\]

\[\frac{1}{2}(x-\sqrt{2})^{2}-\frac{1}{2}(y+2 \sqrt{2})^{2}=0\]

Haciendo:

\[x_{2}=x_{1}-\sqrt{2}\]

\[y_{2}=y+2 \sqrt{2}\]

Llegamos a:

\[x^{2}-y^{2}=0\]

O:

\[(x-y)(x+y)=0\]

\[x-y=0 \space \text{ o } \space x+y=0\]

Es decir, un par de rectas. Estas degeneraciones pueden ser vistas simplificando las ecuaciones, pero no con el método del \(\Delta\). Dicho método no es inutil, sirve para diferenciar entre los \(3\) tipos de cónicas. Por ejemplo, si el \(\Delta\) de una ecuación es \(0\), esta no puede describir una hipérbola o una elipse, solo una parábola o una degeneración de esta.

Pero recuerda, cuidado con las degeneraciones.

Debes estarte preguntando dónde están las cuádricas del \(\mathbb{R}^{3}\).

Cuando pasamos al \(\mathbb{R}^{3}\) las cosas se complican mucho, ni siquiera existe un consenso sobre cómo llamar cada cosa. Además, ese caso no aparece en los exámenes, así que no te preocupes.

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!