Coordenadas Esféricas

Introducción

Las coordenadas esféricas son aquellas que nos permiten estudiar una superficie esférica. Imagina que Pedro está en un punto del planeta:

Si queremos saber exactamente en qué punto del globo se encuentra Pedro, necesitamos una referencia que, en este caso, será el plano \(x\), \(y\) y \(z\).

Existen varias maneras de establecer un sistema para localizar puntos en una esfera, pero el más indicado son las coordenadas esféricas.

Coordenadas Esféricas

Imagina que la esfera de Pedro está dentro de un eje \(xyz\):

Vamos a simplificar el gráfico para una mejor comprensión. Imagina que la posición de Pedro es el punto \(P\):

Para conseguir la posición de Pedro necesitamos \(3\) elementos:

     \(\bullet\) La distancia del punto que queremos hasta el origen (llamada \(\rho\))

     \(\bullet\) El ángulo entre los ejes \(x\) y \(y\) (llamado \(\theta\))

     \(\bullet\) El ángulo entre el vector \(\overrightarrow{O P}\) y el eje (llamado \(\phi\))

Estos tres elementos son necesarios para localizar el punto en que se encuentra Pedro:

Las coordenadas esféricas tienen tres coordenadas \((\rho, \theta, \phi)\).

La coordenada \(\rho\) es la distancia del punto \(P\) al origen, entonces \(\rho \geq 0\).

La coordenada \(\theta\) el ángulo con respecto al eje \(x\).

Y finalmente, la coordenada \(\phi\) es el ángulo entre el vector \(\overrightarrow{O P}\) y el eje \(z\), siendo que \(0 \leq \phi \leq \pi\).

¡Tenemos todo lo que necesitamos! Pero…, ¿cómo vamos a calcular el valor de dichas coordenadas?

Vamos a suponer que cada coordenadas es \(x\), \(y\) y \(z\):

Ten en consideración que el gráfico muestra un ángulo de \(90^{\circ}\), el cual usaremos para conseguir las medidas de las coordenadas esféricas. De las relaciones del triángulo rectángulo tenemos que:

De esta forma, el gráfico sería:

Y así podremos obtener el punto en que se encuentra Pedro.

De Coordenadas Esféricas a Coordenadas Cartesianas

Como estamos acostumbrados a trabajar con coordenadas cartesianas, deberíamos saber cómo transformar las coordenadas esféricas. Para eso, veamos el siguiente gráfico:

     \(1.\) Vamos a pensar en \(\rho\). Analizando el gráfico podemos decir que la distancia entre el punto \(P\) es equivalente al radio de la esfera, por tanto, podemos escribir \(\rho\) en función de \(x\), \(y\) y \(z\):

\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\]

     \(2.\) Para escribir el valor de \(\theta\) en función de \(x\), \(y\) y \(z\) podemos calcular la tangente de \(\theta\). Analizando el gráfico, tenemos que:

\[\tan \theta=\frac{y}{x}\]

     \(3.\) Para el ángulo \(\phi\) vamos a calcular el seno y el coseno. Analizando el gráfico, tenemos que:

\[\cos \phi=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\]

\[\operatorname{sen} \phi=\frac{r}{\rho} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{sen} \phi=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\]

Entonces:

En resumen