Hipérbolas

La hipérbola es similar a dos parábolas simétricas, tal como se aprecia en el gráfico:

Y su definición es: sean dos puntos distintos \(F_{1}\) y \(F_{2}\) en el plano, tal que la distancia \(d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 c\). Sea \(a\) un número real tal que \(2 a<2 c\).

Entonces, la hipérbola es el conjunto de puntos \(P\) del plano tal que:

\[\left|d\left(P, F_{1}\right)-d\left(P, F_{2}\right)\right|=2 a\]

Ahora que conocemos su definición, veamos sus principales elementos:

\(\bullet\) Focos: puntos \(F_{1}\) y \(F_{2}\)

\(\bullet\) Distancia focal: es la distancia \(2c\) entre los focos.

\(\bullet\) Centro: el punto \(C\), es el punto medio del segmento \(F_{1}F_{2}\).

\(\bullet\) Vértices: los puntos \(A_{1}\) y \(A_{2}\)

\(\bullet\) Eje real o transverso: es el segmento \(A_{1}A_{2}\) de longitud \(2a\).

\(\bullet\) Eje imaginario o conjugado: es el segmento \(B_{1}B_{2}\) de longitud \(2b\).

El valor de \(b\) puede ser obtenido a través de la siguiente ecuación:

\[c^{2}=a^{2}+b^{2}\]

¡CUIDADO, no es la misma de la elipse!

La excentricidad de la hipérbola es calculada de la misma forma que la de la elipse, \(e=\frac{c}{a}\), sin embargo, en este caso \(e>1\), porque \(c>a\).

El último elemento importante son las asíntotas, que en el gráfico son representadas por las rectas punteadas.

Vamos a clasificar lo que vimos en \(3\) casos:

     \(\bullet\) Caso \(Nº1\): el eje real está sobre el eje de las \(x\)

      \(\bullet\) Caso \(Nº2\): el eje real está sobre el eje de las \(y\)

      \(\bullet\) Caso \(Nº3\): traslación

Caso \(Nº1\)

Considerando un punto \(P(x, y)\) cualquiera de una hipérbola de focos \(F_{1}(-c, 0)\) y \(F_{2}(c, 0)\). 

Usando la definición:

\[\left|d\left(P, F_{1}\right)-d\left(P, F_{2}\right)\right|=2 a\]

Calculando, tenemos que:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

Esa es la ecuación reducida o canónica de la hipérbola con centro en el orígen y eje real sobre el eje \(x\). En estos casos los elementos son:

\[F_{1}=(-c, 0), F_{2}=(c, 0), A_{1}=(-a, 0), A_{2}=(a, 0)\]

Asíntotas:

\[y=\pm \frac{b}{a} x\]

Caso \(Nº2\)

Haciendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, pero considerando el siguiente gráfico, tenemos:

Su expresión es:

\[\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\]

Esa es la ecuación reducida o canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje real sobre el eje \(y\). En estos casos sus elementos son:

\[F_{1}=(0,-c), F_{2}=(0, c), A_{1}=(0,-a), A_{2}=(0, a)\]

Asíntotas:

\[y=\pm \frac{a}{b} x\]

Caso \(Nº3\)

En este caso solo existen dos posibilidades, que se muestran a continuación:

Una traslación es el desplazamiento del centro de la hipérbola, es decir, en los casos \(1\) y \(2\) los centros eran \((0,0)\), ahora los centros están desplazados. Entonces, los centros serán:

\[C(h, k)\]

Y las ecuaciones serán:

\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\]

\[\space text { o }\space \]

\[\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\]

Entonces, para resolver usaremos el mismo esquema que para la parábola:

     \(1.\) Escribir en un sistema de coordenadas \(x^{\prime} y^{\prime}\), que tiene relaciones:

\[x^{\prime}=x-h\]

\[y^{\prime}=y-k\]

     \(2.\) Hallar todos los elementos en el sistema \(x^{\prime} y^{\prime}\) considerando uno de los casos, \(1\) o \(2\).

     \(3.\) Pasar del sistema \(x^{\prime} y^{\prime}\) al sistema tradicional \(xy\).

Nota:

     \(\bullet\) el valor de \(a^{2}\) siempre está asociado a la parte positiva, es decir, \(+\frac{x^{2}}{a^{2}} \space \text { o }+\frac{y^{2}}{a^{2}}\).

¡Y eso es todo amigos! Para reforzar lo aprendido pasa por los ejercicios.