Ecuación de Schrödinger

La función de onda de una partícula 

"Dejad toda normalidad, los que entráis"

Hablemos de Mecánica Cuántica 

Las partículas se comportan tanto como una onda como una partícula, ¿no?

Bueno, cuando no estás mirando, se comportan exactamente como una onda, viajando por ahí. Esta onda está representada por una función de onda \(\psi\). Dicha función va a describir todo sobre su sistema.

Interpretando la función de onda

Ahora que las partículas se mueven como ondas, es difícil determinar "donde" están, porque las ondas son "dispersas" por naturaleza.

Entonces, ¿qué puede significar esta onda que representa una partícula?

Bueno, supongamos que de alguna manera atrapé un electrón y voy a medir su posición. Donde lo encuentre, marcaré un punto negro.

Mido una, dos, tres... mil cuatrocientos sesenta y ocho, ...muchas veces. Algo sorprendente sucederá: la función de onda va a aparecer en los puntos.

Los lugares donde encontré el electrón varias veces tendrán muchísimos puntos negros, mientras que los lugares donde casi nunca lo encontré estarán casi vacíos.

Esto nos da una idea de lo que puede significar la función de onda: tiene que ver con la probabilidad de encontrar el electrón. 

Densidad de probabilidad

Imagina que el electrón se mueve de un lado a otro a lo largo del eje \(x\). La probabilidad de encontrarlo entre dos posiciones, \(a\) y \(b\), serán:

\(P=\int_{a}^{b}\left|\psi^{2}\right| d x\)

El cuadrado de la función de onda \(\left(|\psi|^{2}\right)\) es llamado densidad de probabilidad, es decir, encontrar una partícula en un lugar determinado del espacio. En una región muy pequeña donde \(\left|\psi^{2}\right|\) es prácticamente constante, tenemos: 

\(\frac{P}{\Delta x} \cong\left|\psi^{2}\right|\)

¿“Densidad” quiere decir que la masa se divide por el volumen, no? Entonces, densidad de probabilidad es como si fuera “probabilidad dividida por volumen”. En un lenguaje más formal, \(\left|\psi^{2}\right|\) es la función de distribución de probabilidad del electrón. 

Eso nos da una idea de la dimensión de \(\left|\psi^{2}\right|\) cuando la función de onda es unidimensional. 

“Probabilidad” no tiene unidad. En general, \(\psi=\psi(x, y, z)\) y en lugar de \(d x\), tendríamos \(d x . d y . d z\). Por tanto, su unidad sería:

\(\left[\psi^{2}\right]=m^{-3}\)

Ese es el significado de la función de onda. Bueno, el de su cuadrado.

Función de onda normalizable

Imagina que puedes observar todo el eje \(x\), desde \(+\infty\) hasta \(-\infty\). En algún lugar del eje el electrón TIENE que estar, a menos que hayamos sido engañados. La probabilidad de que esté en toda la recta es de \(1\), es decir, \(100 \%\).

Esto se llama “función de onda normalizable”, y dice que:

\(\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi^{2}\right| d x=1\)

En este caso decimos que la función de onda está normalizada.

Otro aspecto a resaltar sobre la función de onda es que debe ser continua. Eso quiere decir que su valor no puede "saltar" de repente de un valor a otro.

Una última observación. 

La función de onda puede variar a lo largo del espacio, pero también puede cambiar con el tiempo. Esto significa que depende de \({x}\) y de \({t}\) (tiempo). 

\(\Psi=\Psi(x, t)\)

Sin embargo, en muchos casos podemos separar la dependencia del tiempo y del espacio, ya que es \(\psi(x)\) en que estamos interesados, porque veremos problemas donde los estados son estacionarios, es decir, la densidad de probabilidad no cambia con el tiempo. 

\(\left|\Psi^{2}\right|=\left|\psi^{2}\right|\)

Por eso en la condición de normalización estamos integrando \(\psi(x)\).

\(\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi^{2}\right| d x=1\)

En la Física Clásica

Entre los pilares fundamentales de la física clásica se encuentran las leyes de Newton. 

Una de ellas explica el movimiento de muchos objetos tales como canicas, resortes con pesar, bloques sólidos, etc… Es la famosa \(F=m a\).

Si sabemos la fuerza que actúa en el bloque, podemos saber su aceleración, y por tanto, saber que tipo de movimiento está teniendo.

En la Mecánica Cuántica 

En la Mecánica Cuántica, nos encontraremos con una “ley” bastante parecida. En este caso, tenemos a la ecuación de Schrödinger, que dicta como la función de onda variará según la posición y tiempo. 

\(i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}+U(x) \Psi\)

Donde \(m\) es la masa de la partícula, \(\hbar\) es la constante de Planck reducida y \(U(x)\) es la energía potencial de la partícula en función de su posición. 

Lo que nos va a importar son los llamados casos estacionarios, donde la densidad de probabilidad \(\left|\Psi^{2}\right|\) no varía con el tiempo.

En estos casos podemos separar la función de onda \(\Psi(x, t)\) en una parte que depende solo de \(x\), \(\psi(x)\), y una parte que depende solo del tiempo \(\phi(t)\). 

Si sustituimos en la ecuación, obtendremos dos nuevas ecuaciones:

\(i \hbar \bullet \frac{1}{\phi} \bullet \frac{d \phi}{d t}=E \rightarrow \frac{d \phi}{d t}=-\frac{i E}{\hbar} \phi\)

Donde \(E\) es la energía del sistema, que se refiere a la parte temporal. La solución a esta ecuación será:

\(\phi(t)=e^{-i E t / \hbar}\)

Para la parte que depende del espacio, tendremos a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\(-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+U(x) \psi=E \psi\)

Esta es la parte que nos importa, porque va a definir la función de onda \(\psi(x)\) del sistema. 

Esta ecuación nos da la energía total de la partícula. El primer término representa la energía cinética, el segundo la energía potencial y el último, la energía total

Energía Cinética 

\(-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}\)

Energía Potencial 

\(U(x) \psi\)

Energía Total 

\(E \psi\)

La función de onda total dependiente del tiempo será:

\(\Psi(\mathrm{x}, \mathrm{t})=\psi(x) \bullet e^{-i E t / \hbar}\)

Principio de Incertidumbre de Heisenberg

La mecánica cuántica trae consigo una incertidumbre inherente:

Es imposible medir con precisión tanto la posición como el momento lineal de una partícula.

Si uno es muy preciso, el otro es poco preciso, y viceversa.

Cuando medimos la posición y el momento lineal varias veces, tendremos una incertidumbre \(\Delta x\) en la posición y una incertidumbre \(\Delta p_{x}\) en el momento angular a lo largo del eje \({x}\) que serán los patrones de desviación de las mediciones.

En este caso, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg dice que:

\(\Delta x \Delta p_{x} \geq \frac{\hbar}{2}\)

Donde \(\hbar=h / 2 \pi \cong 1,05 \bullet 10^{-34} J \bullet s\) es llamada constante de Planck reducida y \(h\) es la constante de Planck.

Obs: algunos libros adoptan que \(\Delta x \Delta p_{x} \geq \hbar\), pero en este caso usaremos \(\hbar / 2\).

Si la onda está concentrada, \(\Delta x\) será baja, y podemos determinar con certeza su posición. Sin embargo, esto hace que \(\Delta p_{x}\) tenga que ser alta, esto significa que será difícil determinar su velocidad.

\(\Delta p_{x} \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x}\)

Sin embargo, si podemos determinar su momento lineal con bastante precisión, la incertidumbre \(\Delta p_{x}\) será baja, por tal razón \(\Delta x\) será alta, siendo difícil determinar la “posición” de la onda. 

\(\Delta x \geq \frac{\hbar}{2 \Delta p_{x}}\)

Si la partícula se mueve en una dirección cualquiera en el espacio (en tres dimensiones), entonces tendremos una relación de incertidumbre en cada eje:

\(\Delta x \Delta p_{x} \geq \frac{\hbar}{2}\)

\(\Delta y \Delta p_{y} \geq \frac{\hbar}{2}\)

\(\Delta z \Delta p_{z} \geq \frac{\hbar}{2}\)

Donde la incertidumbre de posición en cada eje se relaciona con la incertidumbre de la componente del momento lineal en ese eje:

Otra relación que, aunque sea similar, no es exactamente lo mismo es el Principio de Incertidumbre de la energía y del tiempo.

En este caso, la relación es entre la incertidumbre de la medida de energía y el tiempo que la partícula sigue teniendo esa misma energía.

\(\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\)

Donde \(\Delta E\) es la incertidumbre de la energía, pero \(\Delta t\) NO es la incertidumbre del tiempo, sino el tiempo medio en el que la partícula continuará teniendo la misma energía.

Eso significa que, si \(\Delta t\) es el intervalo para la medición de energía de un sistema, la medición tendrá una incertidumbre de \(\Delta E \geq \hbar / 2 \Delta t\).