Partícula en un Pozo de Potencial Finito

¿Y si la energía alrededor de la caja no fuera infinita?

Para confinar una partícula dentro de una caja (pozo infinito), debemos colocar una energía infinita alrededor de la misma, lo que hace que la función de onda sea cero.

Pero, qué pasaría si la energía no fuera infinita?

De hecho, la energía infinita es más un concepto abstracto que una realidad. La energía siempre es finita. 

El problema de una partícula en un pozo de potencial finito está descrito matemáticamente por:

\(U(x)=\left\{\begin{array}{cr}U_{0} & x<0 \\ 0 & 0<x<L \\ U_{0} & x>L\end{array}\right.\)

Gráficamente:

Existen dos casos posibles en los que estamos interesados. El primero es \(E>U_{0}\).

En este caso, solamente tenemos una partícula libre que no estará atrapada en el pozo. Su energía es suficiente para estar por encima de las barreras.

Al ser una partícula libre, sus niveles de energía no son cuantizados: sino continuos. 

Para el segundo caso: \(E<U_{0}\). Comencemos por la región II.

En el interior del pozo de potencial, \(U(x)=0\), y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es igual a la ecuación correspondiente al pozo infinito:

\(\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}=-k^{2} \psi(x)\)

Donde:

\(k^{2}=\frac{2 m E}{\hbar^{2}}\)

La solución tiene forma \(\psi_{I I}(x)=A \operatorname{sen} k x+B \cos k x\). En este caso, \(\psi_{I I}(x)\) no es nula en \(x=0\), por tanto \(B\) tampoco lo es. Todavía no sabemos las condiciones de contorno a aplicar.

Fuera del pozo de potencial, en las regiones I y III, la energía potencial es una constante, \(U(x)=U_{0}\), y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

\(\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}=\alpha^{2} \psi(x)\)

Donde:

\(\alpha^{2}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(U_{0}-E\right)\)

La solución de dicha ecuación será la combinación lineal de dos exponenciales:

\(\psi(x)=C e^{\alpha x}+D e^{-\alpha x}\)

\(C\) y \(D\) son constantes cuyo valor varía dependiendo si estamos en la región I o región III.

En el caso de la región I, tenemos \(x<0\). A medida que \(x \rightarrow-\infty\), el segundo término \(D e^{-\alpha x} \rightarrow \infty\) lo que no puede suceder porque la función de onda no sería normalizable.

Por motivos semejantes, en la región III donde \(x>L\) tenemos que tener \(C=0\). Entonces, las funciones de onda son:

\(\psi_{I}(x)=C e^{\alpha x} ; \quad \psi_{I I I}(x)=D e^{-\alpha x}\)

Ahora, el problema es el siguiente. La función de onda tiene que ser continua para todo el eje \(x\), y por eso las condiciones de contorno serían algo así:

\(\psi_{I}(0)=\psi_{I I}(0)\)

\(\psi_{I I}(L)=\psi_{I I I}(L)\)

Sin embargo, tendríamos que resolver una ecuación donde un exponencial es igual a una suma de senos y cosenos, y eso no tiene una solución simple. Ganamos dos condiciones extra diciendo que la derivada de \(\psi\) también tiene que ser continua, pero repito, no tiene una solución simple.

Por eso vamos a discutir cualitativamente estas soluciones.

La función de onda es:

\(\psi_{I}(x)=C e^{\alpha x} ; \quad \psi_{I I}(x)=A \operatorname{sen} k x+B \cos k x ; \quad \psi_{I I I}(x)=D e^{-\alpha x}\)

Donde el índice representa en qué región se piensa la solución.

Las ecuaciones que representan las condiciones de contorno harán que los estados posibles dentro del pozo sean cuantizados, siendo que fuera del pozo serán exponenciales que desaparecen luego de un tiempo. 

Aquí se ven representados \(3\) niveles, pero pueden haber más o menos. La única regla es que siempre tiene que haber al menos un nivel posible dentro del pozo. 

Cabe resaltar que estos niveles cambian en el caso de una partícula confinada.

Al ser tan complicado hallar soluciones (son necesarios métodos de aproximación), los libros usan un caso en específico, y muestran las cualidades del problema. 

• La función de onda no es cero fuera del pozo. Esta decae exponencialmente.

• Cuando \(E<U_{0}\), la energía y el estado del sistema son cuantizados.

• Cuando \(E>U_{0}\), la partícula varía el equivalente a una partícula libre, y su energía varía constantemente.