Función de Onda del Átomo de Hidrógeno

Llegó la hora de estudiar verdaderamente el átomo de hidrógeno utilizando la mecánica cuántica.

El átomo de hidrógeno es el átomo más simple de la tabla periódica. Está conformado por dos partículas: un protón y un electrón.

Imaginemos que el protón está parado, y el electrón en movimiento. La energía potencial entre los dos es igual a la energía potencial eléctrica que depende solo de la distancia \(r\) entre ambos: 

\(U_{e l}(r)=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r}\)

Sabiendo que la carga del protón y del electrón son \(-e\) y \(e\), respectivamente, con \(e=1,602 \cdot 10^{-19} C\) la carga elemental. Además, el electrón puede, al principio, moverse en cualquier dirección, convirtiéndose así en un problema tridimensional:

La ecuación de Schrödinger sería algo así:

\(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2} \psi(x, y, z)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi(x, y, z)}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi(x, y, z)}{\partial z^{2}}\right)+U(x, y, z) \psi(x, y, z)=E \psi(x, y, z)\)

Siendo que la dependencia de \(U\) con \(x, y, z\) viene dada por la distancia entre el protón y el electrón.

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

Antes de que te asustes con esas ecuaciones, te pido que confíes en mí: no voy a seguir resolviendo ese lío gigante.

Vamos a discutir algunas propiedades más importantes del resultado.

La función de onda resultante será cuantizada, pero dependerá de más de un número cuántico.

En general, tendrá una parte que varía con la distancia, que llamamos función radial, y una parte que varía con los ángulos que hace con los ejes \(x, y\) y \(z\) llamada función angular. 

\(\psi=R_{n, l}(r) Y_{l, m}(\theta, \varphi)\)

Cada función va a depender de ciertos números, que son los tres números cuánticos (la dependencia de cada uno está escrito debajo de la función):

• El número cuántico principal \(n\)

Es un número natural cualquiera \(n=1,2, \dots\)

• El número cuántico orbital \(l\)

Su valor solo puede ir de \(0\) a \(n-1\)

• El número cuántico magnético \(m\)

Su valor varía desde \(-l\) hasta \(+l\) en pasos de \(1\).

\(m=-l,-l+1, \dots, l-1, l\),  donde \(l\) es el número cuántico orbital.

Todas las funciones de onda del hidrógeno van a ser unas ecuaciones medio locas. El estado fundamental será:

\(\psi_{0}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^{3}}} \bullet e^{-r / a}\)

Donde \(a=\epsilon_{0} h^{2} / \pi m e^{2}\), es el radio de Bohr, \(a=5,29 \cdot 10^{-11} \mathrm{m}\).

Existe otro asunto importante llamado función de distribución radial del hidrógeno.

Sabemos que \(\psi^{2}\) es la densidad de probabilidad de encontrar el electrón. Por tanto, para un volumen pequeño, donde \(\psi^{2} \cong constante\), podemos acercarnos a esa probabilidad a través de:

\(P=\psi^{2} \bullet \Delta V\)

Donde \(\Delta V\) es ese pequeño volumen.

Sin embargo, puede que solo queramos saber cómo varía esta probabilidad a lo largo de la distancia del electrón y el protón. Para ello, utilizamos como volumen el espacio entre dos cáscaras esféricas. 

Dicho volumen será:

\(4 \pi r^{2} \Delta r\)

Y tendremos:

\(P=\psi^{2} \bullet 4 \pi r^{2} \Delta r\)

Ahora, la probabilidad está en función de una pequeña porción de distancia. Llamamos función de distribución radial a la siguiente fórmula:

\(P(r)=\psi^{2} \bullet 4 \pi r^{2}\)

Para el estado fundamental, tendremos:

\(P(r)=\frac{4}{a^{3}} r^{2} e^{-2 r / a}\)

Cuando integramos esa función en relación a la distancia \(r\), tenemos la probabilidad de encontrar el electrón entre dos distancias \(a\) y \(b\) del protón. 

Su valor máximo se da exactamente para el radio de Bohr, \(r=a\).