Paso 1

El problema nos da el voltaje \(V\), la longitud del cable \(L\), y el radio \(r\) del mismo, además de la densidad de corriente \(J\).

Como nos están pidiendo la resistividad \(\rho\) del cable, tenemos que hallar una forma de relacionar todos los datos.

La resistividad \(\rho\) del cable se relaciona con la resistencia \(R\) a través de la siguiente fórmula:

\[R=\rho \frac{L}{A}\]

\[\rho=\frac{R A}{L}\]

Como el problema nos dio \(L\) y podemos hallar el área a través del radio \(r\), tenemos que buscar la manera de calcular el valor de \(R\).

Paso 2

Sabemos que:

\[V=R I\]

Tenemos \(V\), pero nos falta \(I\). Sin embargo, el problema nos dio \(J\), así que solo tenemos que recordar que:

\[J=\frac{I}{A}\]

\[I=J A\]

Sustituyendo en la ecuación que define la resistencia, tendremos:

\[V=R J A\]

\[R=\frac{V}{J A}\]

Antes de sustituir valores, vamos a despejar la formula de la resistividad que hallamos anteriormente.

Paso 3

\[\rho=\frac{R A}{L}\]

Sustituyendo la fórmula de la resistencia \(R\) que hallamos en el \(2^{do}\) paso:

\[\rho=\frac{V}{J A} \cdot \frac{A}{L}\]

Simplificando, tendremos:

\[\rho=\frac{V}{J L}\]

Donde:

\[V=115 \mathrm{~V}\]

\[J=1,4 \times 10^{4} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}\]

\[L=10 \mathrm{~m}\]

Entonces:

\[\rho=\frac{115}{1,4 \times 10^{4} \times 10}\]

\[\rho=8,21.10^{-4} \Omega \mathrm{m}\]

Como puedes ver, organizando todo para luego sustituir los valores acabamos simplificando el proceso, al no tener que calcular el área de la sección transversal.

Respuesta

\[\rho=8,21.10^{-4} \Omega \mathrm{m}\]