Área entre Curvas

Área entre la curva y el eje \(x\)

 

Esta clase de ejercicios son clásicos cuando hablamos sobre resolver problemas con integrales: vamos a calcular el área encerrada entre una curva y el eje \(x\), como en la siguiente imagen:

 

 

Si el área sombreada formará un polígono normal, como un rectángulo, podríamos usar la fórmula del área para calcular el resultado.

 

Este no es el caso, pero aún podemos acercarnos usando varios rectángulos para aproximar el área del problema, como vimos en “Integrales”:

 

 

La altura de cada rectángulo será el valor de \(f(x)\) en el punto medio y la base será la longitud del intervalo dividido por la cantidad de rectángulos que tenemos, que podemos llamar a esta base \(\Delta x\). Por lo tanto, el área aproximada será la suma del área de cada rectángulo:

\[A \approx f(\overline{x_{1}}) \cdot \Delta x+f(\overline{x_{2}}) \cdot \Delta x++f(\overline{x_{2}}) \cdot \Delta x+\ldots=\sum_{i=1}^{n} f(\overline{x_{i}}) \Delta x\]

 

Es decir, estamos hablando de la suma de Riemann.

 

Si tenemos una gran cantidad de rectángulos \((n \rightarrow \infty)\), tendremos exactamente el área que queremos:

 

\[A=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\overline{x_{i}}) \Delta x\]

 

Este límite extraño no es más que la integral de la función en ese intérvalo:

 

\[A=\int_{a}^{b} f(x) d x\]

 

Por lo tanto,para \(f(x)=x^{2}\) en el intervalo \((0,1)\), por ejemplo:

 

\[A=\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3} u \cdot a\]

 

El \(u.a\) nos marca que estamos hablando de unidades de área. Sí el problema dijese en qué unidades nos manejamos, simplemente escribiremos esa unidad. En este ejercicios, como no damos ninguna unidad, escribimos el \(u.a\).

 

¿Y cuando la función es negativa?

 

Cuando la función es negativa, la altura de cada uno de los rectángulos que usamos en la deducción ya no será \(f(\bar{x})\), y sí \(-f(\bar{x})\), como en la figura a continuación:

 

 

Esto hace con que el área sea:

 

\[A=-\int_{a}^{b} f(x) d x\]

 

Como tenemos esta diferencia de signo cuando la función es negativa, antes de salir integrando, necesitamos determinar los intervalos donde la función es negativa y donde es positiva y luego separar en una integral para cada intervalo.

 

¡Veamos un ejemplo! Calculemos el área entre la curva \(y=f(x)\) y el eje \(x\), con

 

\[f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x\]

 

Lo primero que tenemos que hacer es determinar los límites de la integración. Como no nos dijeron entre qué puntos vamos a integrar, eso nos dice que tenemos que buscar las raíces. Calculemos las raíces entonces:

 

\[x^{3}-3 x^{2}+2 x=x\left(x^{2}-3 x+2\right)=x(x-1)(x-2)=0\]

 

Las 3 raíces son \(0\), \(1\) y \(2\). Estudiando el signo de \(f\), puedes dibujar un gráfico aproximado:

 

 

La función cambia de signo, así que separemos el área en dos:

 

\(A_{1}\),en el intervalo \((0,1)\),donde la función es positiva, y \(A_{2}\),en \((1,2)\), donde es negativa. Entonces tenemos:

 

\[A=A_{1}+A_{2}\]

 

\[A=\int_{0}^{1}\left(x^{3}-3 x^{2}+2 x\right) d x-\int_{1}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}+2 x\right) d x=\frac{1}{2} u \cdot a\]

 

¿Vieron que fácil es?

 

Simetría

 

Está clase de soluciones se da con las funciones que son simétricas, como por ejemplo con las funciones cuadradas.

 

Ahora, digamos que queremos calcular el área delimitada por \(y=-x^{2}+1\) y el eje \(x\). Si dibujamos la función, tenemos que:

 

 

¿Logra ver que el área \(A 1\) es igual a \(A 2\)? Entonces, basta calcular un lado y multiplicar por dos:

 

\[A_{T O T}=A 1+A 2=2 A 1\]

 

Por lo tanto, podemos determinar el área calculando

 

\[A=2 \int_{0}^{1}\left(-x^{2}+1\right) d x\]

 

Siempre que tengan una simetría como esta, ¡pueden integrar solo la mitad del intervalo y multiplicar por \(2\) al final.

 

Esta simetría puede simplificar enormemente las cuentas cuando la función cambia de signo. Por ejemplo, para calcular el área entre la curva \(y=x\) de \(x=-1\) a \(x=1\):

 

 

Bastará hacer:

 

\[A_{T O T}=2 A 2=2 \int_{0}^{1} x d x\]

 

De este modo no separamos en dos integrales y calculamos sólo una.

 

Área entre la curva y el eje \(y\)

 

Es muy importante acá que entiendan que estamos integrando con respecto a la variable \(y\), por eso escribimos \(dy\) en lugar de \(dx\).

 

A veces podemos tener \(x\) en función de \(y\), y nos pidan calcular el área entre el gráfico de esta función y el eje \(y\):

 

 

¡La definición es la misma! Si \(x=g(y)\), entonces:

 

\[A=\int_{c}^{d} g(y) d y\]

 

De la misma forma que anteriormente, esto vale para los intervalos donde \(g(y)\) es positiva, es decir, cuando \(g(y)\) está a la derecha del eje \(y\).

 

En intervalos donde \(g(y)\) es negativa, es decir, está a la izquierda del eje \(y\), simplemente se invierte el signo:

 

 

\[A=-\int_{c}^{d} g(y) d y\]

 

Área entre Curvas

 

Calculemos el área sombreada en la figura:

 

 

Se puede calcular como una diferencia de áreas: el área debajo de \(g\) menos el área debajo de \(f\), ¿qué significa esto? Bueno, veámoslo con un simple ejemplo genérico:

 

\[A=\int_{a}^{b} g(x) d x-\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b}[g(x)-f(x)] d x\]

 

Es decir, simplemente haga la integral de la función que está arriba menos la integral de la función que está debajo.

 

Límites de Integración Desconocidos

 

El problema es que hay casos que piden calcular el área limitada entre dos curvas, pero no dan los límites de integración \(a\) y \(b\).

 

 

Basta ver dónde se cruzan las funciones haciendo:

 

\[f(x)=g(x)\]

 

En el caso de la figura, encontraremos dos \(x\). El más pequeño será \(a\), y el más grande será \(b\).

 

Lo bueno también es hacer un gráfico aproximado, para ver cuál función está arriba y cuál está abajo.

 

Después solo debemos seguir el procedimiento normal:

 

\[\int_{a}^{b}\left[f_{\mathrm{arriba}}-f_{\mathrm{abajo}}\right] d x\]

 

División en diferentes intervalos

 

Habrá algunos casos donde las dos funciones se cruzaran, y en primer lugar una estará arriba, pero luego estará abajo. Este problema se resuelve simplemente separando la integral en los puntos donde se cruzan. Veamos un ejemplo para entenderlo:

 

Por ejemplo, en este gráfico a continuación, las funciones se cruzan:

 

 

Observen que en el intervalo \([a, c]\) la función \(g(x)\) está arriba y la función \(f(x)\) está abajo. Y en el intervalo \([c, b]\) ocurre lo inverso: \(f(x)\) está arriba de \(g(x)\).

 

Por tanto, tenemos:

 

\[A=\int_{a}^{c}[g(x)-f(x)] d x+\int_{c}^{b}[f(x)-g(x)] d x\]

 

¿Se entendió? El punto \(c\) marca la separación de las dos integrales, porque siempre tenemos que respetar que es la integral entre la función de arriba menos la función de abajo.

 

Integración en Relación a \(y\)

 

De manera similar, podemos calcular el área entre curvas definidas en función de \(y\):

 

 

La diferencia es que ahora no integramos la función de arriba menos la función  de abajo, sino la función de la derecha menos la de la izquierda:

 

\[A=\int_{c}^{d}[g(y)-f(y)] d y\]

 

Resumen

 

Sigue un paso a paso para problemas de áreas entre curvas:

 

\(1.\) Si los límites de integración no son dados, igualen las ecuaciones de las curvas y determinen los puntos de intersección entre ellas.

 

\(2.\) Dibujen un gráfico aproximado e identifiquen el área a calcular.

 

\(3.\) Si es necesario, dividan el área en dos o más áreas.

 

\(4.\) Apliquen la fórmula para cada área:

 

\[\int_{a}^{b}\left[f_{\mathrm{arriba}}-f_{\mathrm{abajo}}\right] d x \space \text (en\space relación\space a\space x)\]

 

o

 

\[\int_{a}^{b}\left[f_{\mathrm{derecha}}-f_{\mathrm{izquierda}}\right] d y \space \text (en\space relación\space a\space y)\]

 

¡Listo! ¡Ahora están listos para aventurarse en los ejercicios!

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