Valor Promedio de una Función

Ahora vamos a ver cómo calcular el valor promedio de una función en un intervalo.

Bueno, vamos por partes. Pensando primero en una función constante (es decir, una recta), es intuitivo que el promedio será el propio valor \(c\):

¿Pero qué pasa si tenemos una función como la de la siguiente figura?

Básicamente, el promedio siempre se mantiene constante entre \(x=a\) y \(x=b\). Independientemente de la altura que tome la función en cada punto, el promedio de esas alturas será un valor.

Entonces podemos interpretar este promedio como el área limitada por la función dividida por el intervalo \(b-a\).

Cuando hablamos de área, hablamos de integrales! Entonces, la fórmula:

\[\text {Valor promedio}=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

Por ejemplo, el valor promedio de la función seno en el intervalo \([0, \pi]\) es:

\[\text {Valor promedio}=\frac{1}{\pi-0} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x d x=\left.\frac{1}{\pi}(-\cos x)\right|_{0} ^{\pi}\]

\[⇒\text {Valor promedio}=\frac{2}{\pi}\]

¡Listo! ¿Vamos a los ejercicios?